培优专题分式的运算(含答案).docx

PAGE PAGE 1 / 9 10 、分式的运算 【知识精读】 分式的乘除法法则 c ac ； d bd a c a d ad b d b c bc 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 分式的加减法 （ 1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （ 2）同分母的分式加减法法则 a b a b c c c （ 3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 分式乘方的法则 ( a ) n b a n n （ n 为正整数） b 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题： （ 1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关； （ 2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“ 1 ”的分式； （ 3）运算中及时约分、化简； （ 4）注意运算律的正确使用； （ 5）结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】 x2 x 2 例 1 ：计算 2 x2 x 2 6 的结果是（ ） x x 6 x x 2 x 1x x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 B. x 9 C. x 2 9 D. 2 x 3 A. ( x2)( x ( x 2)( x 1) (x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) ( x 2)( x 1) (x 2)( x 1) (x 2)( x 1) ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) (x 1)( x 1) ( x 3)( x 3) x 2 1 x 2 9 故选 C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。 例 2 ：已知 abc 1 ，求  a ab a 1  b bc b 1  c ac c  的值。 1 分析： 若先通分，计算就复杂了，我们可以用 abc 替换待求式中的“ 1 ”，将三个分式 化成同分母，运算就简单了。 a ab  abc 解： 原式 ab a 1 abc ab a abc abc ab a ab a 1 1 a ab 1 ab a 1 1 ab ab a abc a 1 ab 例 3 ：已知： 2m 5n 0 ，求下式的值： n m (1 m m n n m ) (1 ) m m n 分析： 本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一 个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 n 解： (1 m m n m ) (1 ) m n m m n m(m n) n(m n) m m(m n) n(m n) m m(m n) n m(m n) m(m n) m(m n) n m n m n 2m 5n 0 m 5 n 2 故原式 5 n n 2 5 n n 2  7 n 3 n 7 2 2 3 ab 例 4 ：已知 a、b 、c 为实数， 且 1 ， bc 1 ， ca 1 abc ，那么 a b 3 c 4 a 5 ab bc ca 的值是多少？ 分析： 已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。 1 1 解： 由已知条件得： 3， 1 1 4 ， 1 1 5 a b b c c a 1 1 1 所以 2( ) 12 a b c 1 1 1 即 6 a b c 又因为 ab bc ca 1 1 1 6 abc c b a abc 1 所以 ab bc ca 6 x 3 1 x2 1 x 2 4 例 5 ：化简： ( ) x 2 x 2 x 1 解一： 原式 ( x3 1)( x 2) (x 2 1)( x 2) ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) x 1 x 4 ( x4 3x 3 x x2 ) 2 x 2 1 3( x3 x 4 1) ( x2 1) 1 x 2 ( x 1)( x 1) 3( x 1)( x2 x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x3  x 2 3x 2 x 1 3x 3  x 1) x3 2 x 2 x 1 4 x 4 解二： 原式 ( x 1)( x2 x 1) (x 2)( x 2) (x 1)( x 1) ( x 2)( x 2 ) x 2 x 1 x 2 x 1 ( x 2 x 1)( x 2) ( x 1)( x 2)