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《泛函分析》读书笔记 课程题目：泛函分析 任课教师：高云兰博士 学生姓名：崔继峰 学生学号： 2008 年 12 月 10 日 《泛函分析》读书笔记 Reading Notes about Functional Analysis 崔继峰 所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。 在学习泛函之前，需要有扎实的《实变函数》知识。大学期间，曾用半年时间学 过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的《泛函分析》，讲课的是哈尔 滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合， 把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。在进入研究生学习阶段， 《泛函分析》作为计算 数学研究生的基础理论课程， 是必选的。我们选用的教材是由武汉大学刘培德教 授主编，武汉大学出版社出版的《泛函分析（第二版）》，该教材是面向本科生 的，系里之所以考虑选择此教材， 是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很 粗浅的认识了《泛函分析》这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就 是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。课时大约是 48 学时（粗 略估计）。由于以下两方面的原因： 1）对于《泛函分析》认识很粗浅； 2 ）第一 次写读书笔记（尤其是专业课类），不知道如何从略。所以读书笔记可能从在诸 多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《泛函分析》的感受和 认识。我本着这样态度写该笔记： 1）了解泛函是什么，泛函的发展（很多教材 把这个从略） 2 ）把空间的理论知识系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉 之用。 3 ）学习泛函的实际作用（也就是附录里的滤波器理论的应用）。 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条 件的映射的分支学科。它是 20 世纪 30 年代形成的。从变分法、微分方程、积分 方程、 函数论以及量子物理等的研究中发展起来的， 它运用几何学、 代数学的观 点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。 一、泛函分析的产生 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里 德第五公设的研究， 引出了非欧几何这门新的学科； 对于代数方程求解的一般思 1 考，最后建立并发展了群论； 对数学分析的研究又建立了集合论。 这些新的理论 都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。 本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出 现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了 “希尔伯特空间 ” 的研究。到了二十年代， 在数学界已经逐渐形成了一般分析学， 也就是泛函分析 的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和 方法常常存在相似的地方。 比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次 逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。 这种相似在积分方程论中表现 得就更为突出了。 泛函分析的产生正是和这种情况有关， 有些乍看起来很不相干 的东西，都存在着类似的地方。 因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的 真正属于本质的东西。 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知， n 维空间几何的