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圆幂定理及等幂轴的探究 麟游县九成宫初级中学 田宏刚 摘要：圆幂定理是平面几何中重要定理之一，有着及其广泛的应用。关于等幂轴的轨迹探究， 更能加深学生的逻辑思维。以上内容在 2011 版初中数学《课程标准》中不作要求，但对于学有余力，有兴趣爱好的初中读者，可作为提升知识、思想、方法的途径。对于在职教师，可作为阅读 参考。 关键词：圆幂定理 等幂轴 探究 圆幂定理的发现及证明分析：我们知道，若 p 为圆 O（r）外部一点，过点 p 作割线 PAB 则PA·PB为一常量 , 这一常量由⊙ O（ r ）与点 P 决定，不因割线的位置而改变，这一定理称为割线定理，下面进行证明。 证：如图，设 P为⊙ O外一点，过点 P 作圆 O的两条不同割线分别为 PAB和 PA′B′，连接 AA′， BB′，则 AA′B′B 为圆的内接四边形， 由圆内接四边形的外角等于内对角知： ∠PAA′=∠PB′B，又∵∠ APA′ =∠ B′ PB,∴△PAA′∽△ PB′ B, ∴ PA/PB′=PA′ /PB，因而 PA· PB=PA′PB′。 T P A′ A O B′ A O oOOO A 图 1 B 下面探究这一常量（定值）究竟是多少？有下面的定理。分析：设 P 为圆 O 的切线（如上图 1） PAB 为圆 O 的一条普通割线。而 PA′B′是经过圆心 O 的一条特殊割线，由上述割线定理知， 2这一常是不因割线位置而改变。 且 P= PA·PB=PA′·PB′总成立，而 PA·PB=(PO-r)(PO+r)=PO -r 2 . 2 由于 PT是切线，T 为切点，所以有 RT△ PTO,且有 PO2 -R 2 =t 2 (t 表切线 PT的长) 于是切割线定理表述为： 设 P 为 O（r ）外一点。 PT为 O的切线。 T 为切点， PAB和 PA′B′为圆 O的两条不同割线， 那么 PA·PB=PA′ PB′= PT 2 文字语言表述为：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，那么这一点到割线上两割点的距离之积等于这一点到圆的切线的长的平方。 仿此，若 P为圆 O(r)) 内部一点，如 ( 图 2) 过点 P作任一弦 APB，则 PA,PB为常量（证明是相交弦定理），为求这一常量 P 是多少, 可取过点 P 与 PO垂直的弦 A′ B′，则 P=PA· PB=PA′· PB′ =-PA2 ( 此地用有向线段 ) A =- （ r 2 - po2 ）=po2 - r 2 , 我们把 P=PA·PB=PO2 -r 2 （ 1）  Ａ′ A′ B ′ 定义为 P 对于圆 O（r）的幂，这是一代数量，当 p 在圆外时， P 图 2 O 1 / 4 B PAGE PAGE 2 / 4 P 为正， 其值等于由 P 所作的切线长的平方；当 p 在圆上时 ,PO2 =r 2 ;因而 P=O;当 P 在圆内时， 幂 P 为负，此时， PA·PB=PA′·PB′正是相交弦定理， （如上图 2）证明用到相似三角形的性质，并以下面的引理为前提： 引理 1：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。 （这一定理的证明在初中数学课本中讲过，不再赘述）下证 相交弦定理 ：设 P 为圆内任一点，过点 P 作圆的两条弦ＡＢ和Ａ′Ｂ′，则： ＰＡ·ＰＢ＝ＰＡ′·ＰＢ′。 证：如图 2，连结 A′A 和 B′ B，则∠ A′AP=∠BB′P, 又∵ AB和 A′B′相交于点 P，∴∠ APA′ =∠ BPB′，因而△ A′ AP∽△ BB′ P，所以有 AP/B′ P=A′ P/BP PA· PB=PA′· PB′ . 证毕 分析：相交弦定理是 P 在⊙O 内的情况；割线定理是点 P 在⊙ O 外的情况，由割线定理的推 论切割线定理求得了点 P 在⊙ O 外时，圆幂 P 的值等于 t 2 （t 表切线的长），不论 P 在圆外， 圆上，圆内，圆幂 P 的值总是存在的，我们把相交弦定理，割线定理，切割线定理统称为圆 幂定理。其圆幂的概念由此而来，圆幂定理是平面几何中的重要定理，有着广泛的应用。下面我们来介绍等幂轴的概念及其相关轨迹命题： 对于两个不同的定圆 (圆心确定的圆 )有等幂的点的轨迹，是垂直于连心线的一条直线， 此直线称为两圆的等幂轴。 此命题由下面的引理可以轻而易举得到。 引理 2：到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于两点连线的一条直线。 2 2证法：设 A,B 为两定点， k 为常量，先探求满足条件的 MA —MB =K 的点的轨迹（如图 3 2 2 探究：若 M符合 条件，显然 M 关于直线 AB 的对称点也符合条件，所以轨迹如果是直线， 必有直线上两点对称于 AB ，因而此直线与 l 垂直，所以只需知道这直线与 AB 交点 N, 这个 2轨