三年高考()(理)真题分类解析：专题08导数与不等式.docVIP

精品 Word 可修改 欢迎下载 必威体育精装版 精品 Word 欢迎下载 可修改 精品 Word 可修改 欢迎下载 专题08 导数与不等式、函数零点相结合 考纲解读明方向 考纲内容 考　　点 考查频度 学科素养 规律与趋向 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2.会利用导数解决某些简单的实际问题. 1.导数与不等式 3年3考★★★ 逻辑推理 数学计算 1.高频考向:利用导数解决与之有关的方程（不等式）问题 2.低频考向:利用导数解决某些实际问题. 3.特别关注: 利用导数研究函数的零点问题. 高考全景展示 1.【2022年全国卷Ⅲ理】已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 【答案】（1）见解析（2） 当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，. 所以在单调递增.又，故当时，；当时，. （2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾. （ii）若，设函数. 由于当时，，故与符号相同. 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点. .如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点，综上，. 点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大。 2．【2022年理数全国卷II】已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值. （2）设函数． 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点． （i）当时，，没有零点； （ii）当时，． 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 故是在的最小值． ①若，即，在没有零点； ②若，即，在只有一个零点； ③若，即，由于，所以在有一个零点， 由（1）知，当时，，所以． 故在有一个零点，因此在有两个零点． 综上，在只有一个零点时，． 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 3．【2022年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为． （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）． （2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法. 详解： 解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ， 则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）． 当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）． 答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）． 令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为