《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案).pdfVIP

选修 4 －5 不等式选讲 必威体育精装版考纲： 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及 取等号的条件： (1)|a ＋b| ≤|a|＋|b|(a，b ∈R)．(2)|a－b| ≤|a－c|＋|c－b|(a，b ∈R).2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax＋b| ≤c ，|ax＋b| ≥c， |x－c| ＋|x－b| ≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式， 理解它们的几何意义， 并会证明 .4. 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证 法、放缩法、数学归纳法． 1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)? f (x)a 或 f(x) －a； (2)|f(x)|a(a0)? －af(x)a； (3)对形如 |x－a|＋|x －b| ≤c，|x－a|＋ |x －b| ≥c 的不等式，可利用绝对值不等式 的几何意义求解． 2 ．含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b| ≤|a±b| ≤|a|＋|b|. 问题探究：不等式 |a|－|b| ≤|a ±b| ≤|a|＋|b|中， “＝”成立的条件分别是什么？ 提示：不等式 |a|－|b| ≤|a＋b| ≤|a|＋|b|，右侧 “＝”成立的条件是 ab≥0，左侧 “＝” 成立的条件是 ab≤0且 |a| ≥|b|；不等式 |a|－|b| ≤|a－b| ≤|a|＋|b|，右侧 “＝”成立的条件 是 ab≤0，左侧 “＝”成立的条件是 ab≥0且 |a| ≥|b|. 3．基本不等式 2 2 定理 1：设 a，b ∈R ，则 a ＋b ≥2ab.当且仅当 a ＝b 时，等号成立． a＋b 定理 2 ：如果 a、b 为正数，则 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 2 a＋b＋c 3 定理 3：如果 a、b、c 为正数，则 ≥ abc，当且仅当 a ＝b＝c 时，等 3 号成立． 定理 4 ：(一般形式的算术 —几何平均值不等式 )如果 a1 2 n 、a 、…、a 为 n 个 a ＋a ＋… ＋a 1 2 n n 正数，则 ≥ a a …a ，当且仅当 a ＝a ＝… ＝a 时，等号成立． 1 2 n 1 2 n n 4 ．柯西不等式 2 2 2 2 (1)柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，d 为实数，则 (a ＋b ) ·(c ＋d ) ≥(ac 2 ＋bd) ，当且仅当 ad＝bc 时等号成立． n n n * 2 2 2 (2)若 ai ，bi(i ∈N )为实数，则( ai )( bi ) ≥(ai bi) ，当且仅当 bi ＝0(i ＝1,2，…， i ＝ 1 i＝ 1 i＝ 1 n)或