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精品文档 数学分析选讲 第一章 极限理论 §1 极限初论 一、基本内容 1. 预备知识 (1) 函数的定义，构成函数的要素：定义域、对应法则，函数的值域，反函数， 函数的四则运算与复合运算 . (2) 函数的几何特性 ①有界性 有界与无界的定义 . ②单调性 单调递增与递减的概念 . ③奇偶性 奇偶函数的定义及其图象的对称性，奇偶函数的四则运算性质 . ④周期性 周期函数的定义及其函数图象特征，基本周期 . (3)初等函数 初等函数在其定义区间上连续 . (4) 几个重要的非初等函数 ①符号函数 1, 当 x 0 时 ，显然有 x x sgn(x ) . s g nx() 0 当 x 0 时 1 当 x 0 时 ②取整函数 [ x] 和尾数函数 (x) [ x ] 为 x 的最大整数部分， ( x) 为 x 的非负小数部分，显然有 x [ x] (x), 且 x 1 [ x] x ,0 (x) 1. ③Dirichlet 函数 : 当 为有理数时 1, x D (x) . 当 为有理数时 0 x ④Riemann 函数： 精品文档 精品文档 1 p p 当x ( p,q为正整数 , p q， 为既约分数） R(x) q q q . 0 当x 0,1, 无理数 2.数列与函数极限的定义 (1) lim an a 0, N 0, 当n N时，有 an a . n (2) lim a a 在 a 的任一领域之外仅含数列 { a } 中的有限项 . n n n (3) lim an ( , ) M 0, N 0, 当n N时，. n 有 an M (an M ,an M ) . (4) 有界数列与子列的概念 . (5) lim f (x ) a 0, 0, 当0 x x0 时， x x0 有 f (x ) a . (6) lim f (x ) a ， lim f (x) a ， lim f (x ) a ， lim f ( x) a 和 x x x x x x 0 0 lim f (x ) a 的定义，上述一系列定义中的极限为 或 的情形 . x (7) 无穷大、小量，高阶、同阶及等价无穷小量的概念 . 3.收敛数列