复数的基本概念和几何意义.pdfVIP

复数 一、考点、热点回顾 1.复数的有关概念 （1）复数 2 ①定义：形如 a＋bi （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i ＝－ 1. ②表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi （a ，b ∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式 .a 叫做复 数 z 的实部， b 叫做复数 z 的虚部 . 注意：复数 m＋ni 的实部、虚部不一定是 m、n，只有当 m ∈R ，n ∈R 时， m、n 才是该复数的实部、虚部 . （2 ）复数集 ①定义：全体复数所成的集合叫做复数集 . ②表示：通常用大写字母 C 表示 . 2.复数的分类 实数（ b＝0 ） （1）复数 z＝a＋bi （a ，b ∈R ） 纯虚数 a＝0 虚数（ b≠0） 非纯虚数 a≠0 （2 ）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3.复数相等的充要条件 设 a、 b、c 、d 都是实数，则 a ＋bi ＝c＋di? a ＝c 且 b ＝d， a＋bi ＝0? a＝ b＝0. 注意： （1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 z＝a ＋bi （a， b ∈R ）的形式，即分离实部和虚 部 . （2 ）只有当 a ＝c 且 b ＝d 的时候才有 a＋bi ＝c ＋di ，a ＝c 和 b＝d 有一个不成立时，就有 a ＋bi≠c ＋di. （3）由 a＋bi ＝0，a ，b ∈R ，可得 a ＝0 且 b ＝0. 4.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 .实轴上的点都表示实数；除了 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 . 5.复数的两种几何意义 一一对应 （1）复数 z＝a＋bi （a ，b ∈R ）←― ―→复平面内的点 Z （a， b）. 一一对应 → （2 ）复数 z＝a＋bi （a ，b ∈R ）←― ―→平面向量 OZ . 6.复数的模 → → 2 2 复数 z＝a＋bi （a ，b ∈R ）对应的向量为 OZ，则 OZ 的模叫做复数 z 的模，记作 |z|，且 |z|＝ a ＋b . 2 2 注意：复数 a＋bi （a ，b ∈R ）的模 |a ＋bi|＝ a ＋b ，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以 比较大小 . 二、典型例题 考点一、复数的概念 例 1、下列命题： ①若 a ∈R ，则（ a＋ 1）i 是纯虚数； ②若 a ，b ∈R ，且 a b ，则 a＋i b＋ i ； 2 2 ③若（ x －4 ）＋（ x ＋3x＋2 ）i 是纯虚数，则实数 x ＝ ±2 ； ④实数集是复数集的真子集 . 其中正确的是（ ）