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精心整理 复数 【知识梳理】 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定：① i 可与实数进行四则运算；② i 2 1 ；这样方程 x2 1就有解了，解 为 x i 或 x i 2、复数的概念 （1）定义：形如 a bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位， a 叫做， b 叫做。全体复数 所成的集合 C 叫做复数集。复数通常用字母 z 表示，即 z a bi (a，b ∈R) 对于复数的定义要注意以下几点： ① z a bi (a，b ∈R)被称为复数的代数形式，其中 bi 表示 b 与虚数单位 i 相乘 ②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 （2 ）分类： 满足条件 (a ，b 为实数 ) a ＋bi 为实数 ?b ＝0 复数的分类 a ＋bi 为虚数 ?b≠0 a＋bi 为纯虚数 ?a＝0 且 b≠0 2 例题： 当实数 m 为何值时，复数 (m 5m 6) ( m 3m)i 是实数？虚数？纯虚数？ 二、复数相等 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意： 只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知 (x y 3) (x 4)i 0 求 x, y 的值 三、共轭复数 a bi 与 c di 共轭 a c, b d (a, b,c,d R) _ _ z a bi 的共轭复数记作 z a bi ，且 z z a2 b2 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴。显然，实轴上的点 都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 页脚内容 精心整理 2、复数的几何意义 复数 z a bi 与复平面内的点 Z ( a, b) 及平面向量 OZ (a, b) (a, b R) 是一一对应关系 （复数的实质 是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 例题： （1）当实数 m 为何值时，复平面内表示复数 z (m2 8m 15) ( m2 5m 14)i 的点 ①位于第三象限；②位于直线 y x 上 （2）复平面内 AB ( 2,6) ，已知 CD// AB ，求 CD 对应的复数 3、复数的模： 向量 OZ 的模叫做复数 z a bi 的模，记作 z 或 a bi ，表示点 ( a,b) 到原点的距离，即 2 2 z a bi a b ， z z 2 2 若 z a bi ， z c di ，则 z z 表示 (a ,b) 到 (c,d ) 的距离，即 z z (a c) (b d) 1 2 1 2 1 2 例题： 已知 z 2 i ，求 z