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抛物线的焦点与准线 抛物线的焦点与准线 抛物线的焦点与准线（高中知识有关） 九上P54、活动2（新书） 一、高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59 抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线. b4ac?b2?14ac?b2?1,)，准线为y?公式：抛物线y?ax?bx?c的焦点为(? 2a4a4a 1、（2021黄冈市，25，15分）已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线y?垂足为M，连FM（如图）． （1）求字母a，b，c的值； （2）在直线x＝1上有一点F(1,)，求以PM为底边的 等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形； （3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由． 2、2021年山东潍坊市 24．(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，0)、B(2，0)、C(0，－1)三点，过坐标原点0的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C,D(0，－2)作平行于x轴的直线l1、l2． (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON为直径的圆与直线l1相切； (3)求线段MN的长(用k表示)，N两点到直线l2并证明M、的距离之和等于线段MN的长． 3、湖北省黄冈市2021年中考数学试卷 24、如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线 交于M（x1，y1）和 N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）． （1）求b的值． （2）求x1?x2的值． （3）分别过M，N作直线l：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论． （4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由． 4、2021年南通市中考试题（五中月考） 28．（本小题满分14分）(2021年南通市) 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点． （1）求直线AB和这条抛物线的解析式； （2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直 线l与⊙A的位置关系，并说明理由； （3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n） 是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积． 5、（2021-2021福州市九上期末考试题） 22．（14分）已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)经过点A （－2，0）、B（0，1）两点，且对称轴是y轴，经过 点C（0，2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点，P、Q为抛物线y?ax2?bx?c（a?0）上的两动点。 （1）求抛物线的解析式; （2）以点P为圆心，PO为半径的圆记为⊙P， 判断直线l与⊙P的位置关系，并证明你的结论; （3）设线段PQ?9，G是PQ的中点，求点G到直 线l距离的最小值。 6、（2021四川资阳9分）抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（－2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B． （1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值； （2）(3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB； （3）(3分)若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝ ，求点M的坐标． 9 抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案 1、（2021黄冈市，25，15分）【分析】．（1）抛物线的顶点为C（1，1），可设解析式 为y＝a（x－1）+1，又因抛物线过原点，可得a＝－1，所以y＝－（x－1）2+1，化简得 y＝－x2＋2x，即可求字母a，b，c的值；（2）由FM＝FP，PM与直线y?垂直，可得 ∴y?，代入y＝－x2＋2x， 解得x?1???y， ∴点P坐标为（1?）或（1 ，），所以分两 种情况，通过计算可得△P