数值分析 计算方法 期末试卷3及参考答案.docxVIP

数值分析 计算方法 期末试卷3及参考答案 数值分析lpar;计算方法rpar;期末试卷3及参考答案 一． 填空(每空3分，共30分) 1. 截断误差 2. -x (x -2) ， x (x -1) ， 10 3. 1 4. =x - x 2x k -f (x k ) k 2x (x 5. 6，5，26，9 k -f k ) 1. 构造重节点的差商表： 所以，要求的Newton 插值为： N 3(x ) =-5(x -1) +2(x -1)(x -2) +(x -1)(x -2)(x -3) 插值余项是：R (x ) = f (ξ) (x -1) 2(x -2) 或：R (x ) =f [x ,1,2,3,4](x -1)(x -2)(x -3)(x -4) =x 3-4x 2+3 2. （1）解：f (x ) =1时，左=?1 0f (x ) dx =1，右=A 0+A 1，左＝右得：A 0+A 1=1 f (x ) =x 时，左=?1 f (x ) dx = 102，右=B 10+A 1，左＝右得：B 0+A 1=2 f (x ) =x 2 时，左=?10 f (x ) dx =13，右=A 1，左＝右得：A 1=13 联立上述三个方程，解得： 0=3, B 0=6, A 1=3 f (x ) =x 3 时，左=?1110f (x ) dx =4，右=A 1=3 ，左≠右 所以，该求积公式的代数精度是2 （2）解：过点0，1构造f (x ) 的Hermite 插值H 2(x ) ，因为该求积公式代数精度为2，所以有：? H 2(x ) dx =A 0H 2(0)+A 1H 2(0)+B 0H 2(0)=A 0f (0)+A 1f (1) +B 0f (0) 其求积余项为： R (f ) =?1 f (x ) dx -[A 0f (0)+A 01f (1)+B 0f (0)] f (η) 0 f (x ) dx -?0 H 2(x ) dx =? (x -1) dx = f (ζ) 12 3! ?0x (x -1) dx =-f (ζ) 72 所以，k =- 3. 解：改进的Euler 公式是： 具体到本题中，求解的公式是： ?n +1=y n +0.2(3x n +2y n ) =1.4y n +0.6x n ? ?y n +1=y n +0.1[3x n +2y n +3x n +1+2n +1] ?y (0)=1? ?n +1=y n +hf (x n , y n ) ? y n +1=y n +[f (x n , y n ) +f (x n +1, n +1)]??2 代入求解得：1=1.4, y 1=1.54 2=2.276, y 2=2.4832 4．解：设f (x ) =x 3+2x -5, 则f (x ) =3x 2+2, 牛顿迭代公式为：x k +1=x k - 将x 0=1.5代入上式，得 f (x k ) f (x k ) 3x k +2x k -5 =x k -2 3x k +2 32x k +5 3x k +2 x 1=1.34286，x 2=1.37012，x 3=1.32920, x 4=1.32827, x 5=1.32826 x 5-x 4=0.00001 所以，方程的近似根 x 5=1.32826 5．解，Jacobi 迭代公式是： ?k +152k 1k ?x 1=3-3x 2-3x 3? ?k +13k ?x 2=-x 1 2?k +1?x 3=4-x 1k +1?? Gauss-Seidel 迭代公式是： ?k +152k 1k ?x 1=3-3x 2-3x 3? ?k +13k +1?x 2=-x 1 2?k +1?x 3=4-x 1k +1?? (2) 设其系数矩阵是A ，将A 分解为：A =D -L -U ，其中 ?D = 300??000??0-2 020??，L = -200? ?001??, U = 00 ? ?-100?? ?00Jacobi 迭代矩阵是： ??0-2-1?B J =D -1(L +U ) =