小学奥数-长方体表面积与展开图(教师版).pdfVIP

长方体表面积与展开图 【例 1】 ★如下图，一个边长为 3a 厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖 去一个截口是边长为 a 厘米的正方形的长方体（都和对面打通） ．如果这个镂空的物体的表面积为 2592 平方厘米，试求正方形截口的边长． 【解析】原来正方体的表面积为： 2 6 ×3a×3a ＝6 ×9a （平方厘米）． 六个边长为 a 的小正方形的面积为： 6 ×a ×a＝6a2 （平方厘米）； 挖成的每个长方体空洞的侧面积为： 2 3a ×a×4 ＝12a （平方厘米）； 三个长方体空洞重叠部分的校长为 a 的小正方体空洞的表面积为： 2 a ×a ×4 ＝4a （平方厘米）． 2 2 2 2 根据题意： 6 ×9a －6a ＋3 （12a －4a ）＝2592 ， 2 2 2 2 化简得： 54a －6a ＋24a ＝2592，解得 a ＝36 （平方厘米），故 a ＝6 厘米． 即正方形截口的边长为 6 厘米． 【例 2】★★ 有一些相同尺寸的正方体积木， 准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字． 但 全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木 的各面面积的总和增加一倍． 【解析】把每一块积木锯三次。 【例 3】 ★★ 一个长方体，前面和上面的面积之和是 209 平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以 厘米为单位的数，且都是质数．问这个长方体的体积和表面积各是多少 ? 【解析】要求长方体的体积和表面积，就要求出长方体的长、宽、高．因为这个长方体的前面和上 面的面积之和是 209 平方厘米，也就是长×宽 +长×高 =长× ( 宽 +高 )=209 ．根据已知条件，长、宽、 高都是质数，我们把 209 分解质因数得到 209= 11×19．在 11 和 19 中，只有 19 可分拆为 2 与 17 两 个质数的和．这样，我们可以确定长方体的长、宽、高分别是 11、2、 17 或者 11、17、2 ．由此可 求得长方体的表面积和体积． 【例 4】★★ 如图 11-3 ，一个正方体形状的木块，棱长 l 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯 成 4 长条，每条又锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体 60 块．那么，这 60 块长方体表面积的和 是多少平方米 ? 【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的 2 个面的面积． 现在一共切了 (3-1)+(4-1)+(5-1)=9 刀，而原正方体一个面的面积 1×l= 1( 平方米 ) ，所以表面积增 加了 9 ×2 ×1=18(平方米 ) ． 原来正方体的表面积为 6 ×1=6(平方米 ) ，所以现在的这些小长方体的表积之和为 6+18=24( 平方 米 ) ． 【小试牛刀】右图是 4 ×5 ×6 正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成 红色的小正方体各有多少块？ 【解析】三面涂红色的只有 8 个顶点处的 8 个立方体； 两面涂红色的在棱长处，共（ 4-2 ）×4+ （5-2 ）× 4+ （6-2 ）× 4=36 块； 一面涂红的表面中间部分： （4-2 ）×（ 5-2 ）×2+ （4-2 ）×（ 6-2 ）× 2+ （5-2 ）×（ 6-2 ）×2=52 块． 【例 5】★ 边长为 1 厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到 第 5 层时，这