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波函数和薛定谔方程 郭红 波函数和薛定谔方程lowbar;郭红 第13卷第6期2000年12月高等函授学报(自然科学版) Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences) Vol. 13No. 6December 2000 文章编号:1006-7353(2000) 06-0007-04 波函数和薛定谔方程 (华中师范大学物理系) (广东省梅州农业学校) 摘要:本文论述了量子力学中波函数取为复值的必要性, 阐明了态叠加原理是引入复值波函数的物理基础。介绍了求解薛定谔方程的一种简易方法。 关键词:波函数; 叠加原理; 薛定谔方程 中图分类号:O 413. 1 文献标识码:A 1 波函数与叠加原理 众所周知, 微观客体具有波粒二象性, 因此, 我们可用波函数来描述微观系统的状态。但必须强调, 波函数给出的有关微观系统的信息本质上都是统计性质。例如, 在适当条件下制备动量为P 的粒子, 然后测量其空间位置(或角动量) , 我们根本无法预言这一次测量的准确结果, 只能知道获得各种可能结果的概率。很自然, 人们会提出这样的疑问:既然量子力学只能给出统计性质, 那就只需引入一个概率分布函数(象经典统计力学那样) , 何必假定一个复值波函数呢? 事实上, 引入复值波函数的物理基础, 是量子力学中一条基本原理) ) ) 叠加原理。这条原理告诉我们, 两种状态的叠加, 决不是概率相加, 而是带有相位的复值波函数的相加[1], 正因为如此, 在双缝衍射实验中, 我们才能看见屏上的干涉花纹。 现在我们再来详细考察双缝衍射实验。我们在屏上选择一个小区域P , 分别打开左边和右边狭缝, 单位时间落在P 区域内的粒子数目分别为N 1和N 2; 然后同时打开两条狭缝。试问:这时单位时间内落在小区域P 内的粒子是否等于来自左边狭缝的N 1个 粒子和来自右边狭缝的N 2个粒子之和呢? 不是。既然粒子一个一个地通过狭缝从而互不 影响, 因此, 这个结果表明, 似乎原先通过左边狭缝的粒子, 在打开右边狭缝时会影响它落在屏上的位置, 也就是说, 我们必须设想单个粒子具有波动性, 因此, 仅仅把波动性理解为概率分布是不够的[2]。 设U 左和U 右是分别打开左边和右边狭缝时的波函数, |U 左|2和|U 右|2则是相应的概率分布。如果我们把粒子的波动性仅仅理解为概率分布, 我们就很容易把打开双缝 后的概率分布写成|U 左|2+|U 右|, 即N = N 1+N 2; 但实验告诉我们, N X N 1+N 2, 双缝衍射的正确概率分布应是|U 左+U 右|(假设整个实验是左右对称的) , 换句话说, 在双缝衍射实验中, 不能应用概率叠加法则, 而必须采取波函数叠加原理。2 薛定谔方程 物理体系在其外部环境条件完全确定情况下, 体系初始态应该唯一地确定以后的状态。它要求描述状态变化的方程是时间的一阶微分方程, 在量子力学中就是薛定谔方程 i ü=H ^U 为了求得体系状态的时间发展, 我们必 收稿日期:2000-10-02 2000年12月Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences) px 2P ü Vol. 13No. 6December 2000 须从已知初态出发, 利用薛定谔方程求出唯一的解 i ü=H ^U (t) U (t =0) =U 0 既然对于许多常见体系(一维方势阱, 谐振子, 库仑中心势, ,, ) 能量本征波函数是已知的, 我们就可以利用这一有利条件, 直接写出解U (t) [3], 其步骤如下: 首先, 把初态U 0在能量本征态{U n }上展开(其中能量本征态满足H ^U n =E n U n ) , U 0= U p (x ) = 因此C p = Q U (x ) #U (x ) dx =Q (P a ) e 2-1/4-x /2a 2P ü=(2P ü) 1/2#21/4 1p a 2p a (x+i ) -2a 2ü E C n U n ; 然后直接写下 U (t) = C n U e n 2(x+i ) dx 2a 例如, 一维无限深势阱(势阱位于|x | 2cos sin (|x | 2a 2a 2a sin (x +a) 2a 0 把U 0在能量