2021年圆的知识点总结及典型例题文档.docx

精品学习资料 名师归纳总结——欢迎下载 圆的学问点总结（一）圆的有关性质［学问归纳］1.圆的有关概念：圆，圆心，半径，圆的内部 圆的学问点总结 （一）圆的有关性质 ［学问归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆，圆心，半径，圆的内部，圆的外部，同心圆，等圆； 弦，直径，弦心距，弧，半圆，优弧，劣弧，等弧，弓形，弓形的高； 圆的内接三角形，三角形的外接圆，三角形的外心，圆内接多边形，多边形的外接 圆；圆心角，圆周角，圆内接四边形的外角； 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有很多条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性； 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆； 垂直于弦的直径 3. 4. 垂径定理 推论 1 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （ 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧； 垂径定理及推论 1 可懂得为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个： ①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧； 1 第 1 页，共 18 页 精品学习资料 名师归纳总结——欢迎下载 推论 2圆的两条平行弦所夹的弧相等；5. 圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等； 在同圆或等圆中，假如两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；推论此定理和推论可以懂得成：在同圆或等圆中，满意下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等；圆心角的度数等于它所对的弧的度数； 圆周角6.定理 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等； 5. 圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的 弦心距相等； 在同圆或等圆中，假如两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等； 推论 此定理和推论可以懂得成：在同圆或等圆中，满意下面四个条件中的任何一个就能 推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等； 圆心角的度数等于它所对的弧的度数； 圆周角 6. 定理 推论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等； 推论 推论 2 3 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径； 假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角； ※8. 轨迹 轨迹 符合某一条件的全部的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹； （1）平面内，到肯定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径 的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线； ［例题分析］ 例 1. 已知：如图 1，在⊙ O中，半径 OM⊥弦 AB于点 N； 图 1 ①如 AB＝ ， ON＝ 1，求 MN的长； ②如半径 OM＝R，∠ AOB＝ 120°，求 MN的长； 解：①∵ AB＝ ，半径 OM⊥AB， ∴ AN＝BN＝ ∵ON＝1，由勾股定理得 OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝ 1 ②∵半径 OM⊥AB，且∠ AOB＝120° ∴∠AOM＝ 60° 2 第 2 页，共 18 页 精品学习资料 名师归纳总结——欢迎下载 ∵ON＝ OA·cos∠ AON＝ OM· ∵ON＝ OA·cos∠ AON＝ OM·cos60°＝ ∴ 说明：如图 1，一般地，如∠ AOB＝ 2n°， OM⊥AB于 N， AO＝R， ON＝h，就 AB＝ 2Rsin n °＝ 2htan n °＝ 例 2. 已知：如图 2，在△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，∠ B＝25°，以点 C为圆心， AC为 半径作⊙ C，交 AB于点 D，求 的度数； 图 2 分析：由于弧与垂径定理有关；与圆心角，圆周角有关；与弦，弦心距有关；弧与弧之 间仍存在着和，差，倍，半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供