微电子器件及工艺CAD第二章 基本数学方法.pptVIP

§2-3 线性代数方程组的求解 线性代数方程组的求解 线性代数方程组的求解 线性代数方程组 求解算法: 直接法 迭代法 高斯消去法 LU分解法 高斯消去法 线性代数方程组 A X = B 其中 2 1 2 1 ) , , ( ) , , ( T n T n b b b B x x x X L L = = 为了方便讨论，我们将其写成如下形式 2 22 21 1 12 11 n n a a a a a a a a a A L M M M M L L = n1 n2 nn 线性代数方程组的求解 高斯消去法 线性代数方程组 A X = B 设 第一次消元：由第 个方程减去第1个方程乘以 ,则将上面方程组中的第 其中记 线性代数方程组的求解 高斯消去法 个方程中的第一个未知数 消去，得到如下方程组 其中 设 由第 个方程减去上面方程组中的第2个方程乘以 ，则将其中的 个方程 线性代数方程组的求解 高斯消去法 中第2个未知数 消去，得到如下方程组 其中 继续这个过程，经过n-1次消元后，方程变为 线性代数方程组的求解 高斯消去法 其中 线性代数方程组的求解 高斯消去法 于是可以从第n个方程开始逐次向上解方程。 线性代数方程组的求解 高斯消去法 以上的计算是假设 ，事实上，即使 ， 但如果 的值很小，消去过程也无法进行，需要进行列选主元素，这里只解释为什么 的值很小时不可以。 经过第一次消元，第2个方程减去第1个方程乘以 得 假设计算机可以保留10位有效数字，用消元法解下面的方程组。 线性代数方程组的求解 高斯消去法 其中 解得 而真解为 线性代数方程组的求解 高斯消去法 交换方程组的第1行和第2行，得 再用消去法，可得真解。 线性代数方程组的求解 2.LU分解法 线性代数方程组A X = B A分解为上三角阵U和下三角阵L，即A=LU。 则AX＝LUX＝B，设UX＝Y，那么LY＝B 线性代数方程组的求解 2.LU分解法 下面介绍L，U的求法。 首先，用L阵的第1行分别乘U阵的各列，算出U阵的第1行各元素。 然后，用L阵的各行分别去乘U阵的第1列，算出L阵的第1列 线性代数方程组的求解 《微电子器件及工艺CAD》 * * 第二章 基本数学方法 §2-1 微分方程的有限差分解法 微分方程的有限差分解法 2.1.1 微分方程数值解的引入 由上一章可知，描述半导体器件的基本方程基本上是一些微分方程。对于某些十分特殊的微分方程，它的解可以用封闭形式给出，即以初等函数，诸如多项式、指数函数、对数函数以及这些函数的不定积分的有限组合给出，这种解是微分方程的解的解析表达式。但是，许多其它的微分方程，并不能按照这种方式来求解，即它们的解不能以初等函数来表示。也就是说，要找出这类方程的解的解析表达式是极其困难的，甚至是不可能的。在工程技术中，通常采用近似解的方法来解决这一问题。数值解法就是能够算出解在若干个离散点上近似结果的通用方法，换句话说，数值解法就是求出微分方程所定义区域上某些离散点上函数的近似值。如果区域上的点取得足够密，就能很好地近似元微分方程的解。 微分方程的数值解法有许多种，有限差分法是微分方程数值解法的一种，是半导体器件数值分析中最常用的方法。后面的章节中，我们还将介绍另一种应用更普遍的离散数值分析法-----有限元法。 2.1.1 微分方程数值解的引入 微分方程的有限差分解法 2.1.2 有限差分法 拉格朗日型的余项 2.1.2.1 导数的有限差分近似 考虑一个在点x附近能够解析的函数f(x)，将f(x)展开为Taylor级数： 微分方程的有限差分解法 1、 一阶导数的向前有限差分近似 由上式得 其中E(h)为截断误差 0θ1 微分方程的