5.对称和共线问题.docx

第100课 对称和共线问题 基本方法： 1. 对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有： （1）点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题） 设点，对称中心为，则点关于的对称点为. （2）点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下： 设点关于直线的对称点为，则有，可求得. 特殊情形： ①点关于直线对称的点为； ②点关于直线对称的点为； ③若对称轴的斜率为，则可把直接代入对称轴方程求得对称点的坐标. 2. 三点共线问题解题策略一般有以下几种： ①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线； ②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线； ③向量法：利用向量共线定理证明三点共线； ④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上; ⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线. ⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线. 在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”. 一、典型例题 1. 已知椭圆，为椭圆上一点，若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线. 2. 已知椭圆：，为椭圆左顶点，设椭圆上不与点重合的两点，关于原点对称，直线，分别交轴于，两点. 求证：以为直径的圆被轴截得的弦长是定值. 二、课堂练习 1. 抛物线，已知斜率为的直线交轴于点，且与曲线相切于点，点在曲线上，且直线轴，关于点的对称点为，判断点是否共线，并说明理由. 2. 已知椭圆，上顶点为为坐标原点，设线段的中点为，经过的直线与椭圆交于两点，，若点关于轴的对称点在直线上，求直线方程. 三、课后作业 1. 已知抛物线的焦点为，直线过点，直线与抛物线相交于两点，点关于轴的对称点为. 证明：三点共线. 2. 已知椭圆.的顶点都在椭圆上，其中关于原点对称，试问能否为正三角形？并说明理由. 3. 已知椭圆，右顶点为，设直线：上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点. 若的面积为，求直线的方程.