三角形四心的向量性质练习.pdfVIP

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2021-06-20 发布于湖北
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三角形四心的向量性质练习.pdf

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三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知 A，B，C 是不共线的三点， G 是 △ ABC 内一点，若 uuur uuur uuur GA GB GC 0 ．则 G 是 △ABC 的重心． uuur uuur uuur 证明：如图 1 所示，因为 GA GB GC 0 ， uuur uuur uuur 所以 GA (GB GC ) ． uuur uuur 以GB ，GC 为邻边作平行四边形 BGCD ， uuur uuur uuur uuur uuur 则有 GD GB GC ，所以 GD GA ．又因为在平行四边形 BGCD 中， BC 交 GD 于点 E ， uuur uuur uuur uuur 所以 BE EC ， GE ED ．所以 AE 是 △ABC 的边 BC 的中线．故 G 是 △ ABC 的重心．点评： ①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法． uuur uuur 例 1 如图 2 所示， △ ABC 的重心为 G，O 为坐标原点， OA a ，OB b ， uuur uuur OC c ，试用 a，b， c 表示 OG ．解：设 AG 交 BC 于点 M ，则 M 是 BC 的中点， a OG GA b OG GB c OG GC 图 2 a b c OG GA GB GC 而 a b c 3OG 0 a b c OG 3 变式：已知 D，E，F 分别为 △ABC 的边 BC，AC，AB 的中点．则 uuur uuur uuur AD BE CF 0 ．证明：如图的所示， 3 AD GA 2 3 BE GB 2 3 CF GC 2 3 AD BE CF (GA GB GC) 图 3 2 GA GB GC 0 uuur uuur uuur AD BE CF 0 ．．变式引申：如图 4 ，平行四边形 ABCD 的中心为 O ，P 为该平面上任意一点， uuur 1 uuur uuur uuur uuur 则 PO ( PA PB PC PD ) ． 4 uuur 1 uuur uuur uu