利用导数研究函数的极值和最值.docxVIP

利用导数研究函数的极值和最值 课程标准 1、结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值， 3、会用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 基础知识回顾 1、函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2、函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、常用结论 1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． 2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 自主热身、归纳总结 1、函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　) A．1＋ln 2 B．1－ln 2 C.eq \f(1＋ln 2,2) D.eq \f(1－ln 2,2) 2、. 已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是(B ) A. (－1，2) B. (－∞，－3)∪(6，＋∞) C. (－3，6) D. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 3、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　　) A．11或18　　　　　　　　 B．11 C．18 D．17或18 4、函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．无数 5、(多项选择)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述错误的是( ) 第1题图 A. f(b)＞f(a)＞f(c)； B. 函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值； C. 函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值； D. 函数f(x)的最小值为f(d). 6、(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是(　　) A．f(a)＞f(e)＞f(d) B．函数f(x)在[a，b]上递增，在[b，d]上递减 C．函数f(x)的极值点为c，e D．函数f(x)的极大值为f(b) 7．(多选)对于函数f(x)＝eq \f(x,ex)，下列说法正确的有(　　) A．f(x)在x＝1处取得极大值eq \f(1,e) B．f(x)有两个不同的零点 C．f(4)＜f(π)＜f(3) D．πe2＞2eπ 8、 函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－4x＋eq \f(1,3)的极大值是____，极小值是____． 9、f(x)＝eq \f(2x＋1,x2＋2)的极小值为________． 10、(一题两空)(2019·甘肃兰州一中期末改编)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为________． 例题选讲 考点一 利用导数研究函数的极值 例1　已知函数f(x)＝eq \f(1,x)＋lnx，求函数f(x)的极值． 方法总结：运用导数求导函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值. 变式、已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝eq \f(1,2)时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 考点二利用导数研究函数的最值 例2、已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数． (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值． 方法总结：. 求函数f(x)在区间上的最大值与最小值的