经典力学上授课课件第6章振动.pptVIP

* * 的 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 简谐振动的复数表示 简谐振动的复数形式 若f (t)表示位移，则速度和加速度为 举例 例6.7 图为线形三原子分子A2B的模型。假定相邻原子间的结合力是弹性力，它们正比于原子间距，求分子可能的纵向运动形式和相应的振动角频率。 【解】从左到右设三个原子的坐标依次为x1、x2、x3，则它们的运动方程为 设解具有复数形式： 代入上列方程，并消去公共因子eiωt，可得 该齐次方程组可解的条件是 即 因式分解，得 由此得到ω2的三个根： 将三个ω2的根代回联立方程组，得原子振幅的比例关系 零频ω3代表分子刚性平动； ω1代表中央原子2不动，两侧原子1和3相对运动； ω2代表两侧原子1和3相对静止，它们整体与原子2作相对运动 以上实例表明：两个振子的系统有两个自由度，可以两种方式以同一频率振动。 系统中各振子以相同频率作简谐振动的方式称为简正模式； 每个模式对应的振动频率称为简正频率； 多自由度振动系统总结： 当系统以简正模式振动时，每个振子的振幅保持不变；以上系统，作纵向运动时为2自由度。它有2个简正模式，2个简正频率； 可证明，n自由度的纵向振动系统有n个简正模式，n个简正频率； 一般而言，系统中每个振子的振动状态将是系统的各简正模式按一定的权重叠加的结果； 多自由度振动系统总结： 例6.8 求双摆系统作微小振动时的简正频率 【解】设上、下摆线的张力分别为T1、T2，则摆作微小摆动时的水平方向的运动方程为 θ1 、θ2、 θ1 、θ2都很小，由垂直方向运动可得 T1≈(m1+m2)g , T2≈m2g，代入上式，得 ③-④得 使A, B不为0，必须有 或 ⑥ 代入⑥，得对应的A/B： 由此解得简正频率为 l l m2 m1 θ1 θ2 l l m2 m1 模式1 模式2 两个特殊情况 （1） 当m1=m2, 此时 （2） 当m1＜＜m2 , 此时 * * * * * * * * * * * * * * 自由振动 没有外界能量补充的振动 阻尼振动 振动系统在准弹性回复力和阻力的作用下, 振幅随时间衰减的振动 阻尼方式 摩擦阻尼 、辐射阻尼 6.3 阻尼振动 受迫振动 共振 阻尼振动 阻尼振动 阻尼振动的微分方程(以弹簧振子为例） 设 其中 称为阻尼因数 即 则 其解为 阻尼振动 讨论 βω0 过阻尼振动 其中 A1 ，A2 可由初始条件决定，此时没有振动现象。 取实部 βω0 欠阻尼振动 阻尼振动 式中： βω0 欠阻尼振动 阻尼振动 此时振子的运动严格讲己不再是周期运动，但仍可看作振幅逐渐衰减的周期运动； 其振幅和周期为 β＝ω0 临界阻尼振动 此时的方程解为 阻尼振动 其中 A1, A2 可由初条件决定，此时也没有振动现象。 临界阻尼状态，系统所对应的回复时间，即由静止开始从偏离平衡位置的某处回复到平衡位置（在一定观察精度内）所需的时间，比欠阻尼和过阻尼状态都要短。 欠阻尼：振动存在，但周期变长，振幅随时间减小，最终振动停止； 过阻尼：不可能振动，但趋于平衡变慢。 临界阻尼：不可能振动，但趋于平衡最快； 阻尼的作用 三种阻尼的比较 阻尼振动位移时间曲线 b）过阻尼 a）欠阻尼 c）临界阻尼 弱阻尼（β~0）系统的能量的衰减 其中 弱阻尼系统，机械能不守恒，随时间指数衰减。 当 有 于是 一个周期内，能量的损失 品质因数 Q 值 定义： 振子的机械能 一个周期中损耗的能量 Q＝2π Q 仅由振动系统本身的性质决定。 Q-1 定义为内耗 例6.6 有一单摆在空气（室温为 20°C ）中来回摆动，其摆线长 l =1.0m ，摆锤是一半径 r=5.0 ×10 -3 m 的铅球。 求（1）摆动周期；（2）振幅减小10％所需的时间；（3）能量减小10％所需的时间；（4）从以上所得结果说明空气的粘性对单摆周期、振幅和能量的影响。（已知铅球密度为 ρ= 2.65 ×10 3 kg.m-3，20°C 时空气的粘度 η =1.78 ×10-5 Pa. s ） 解（1） （2）有阻尼时 （3） 受迫振动 (1)运动方程及解 令 则运动方程为 设有强迫力 运动方程为 方程解为： 第一项即阻尼振动，随时间t而衰减，为暂态解; 第二项即受迫振动，为稳态解。当经历一段时间后，只需考虑稳态解。 稳态解中，A是稳定振动的振幅，φ是稳定振动的初相位，也是稳定振动与强迫力的相位差。 稳态解的特点是它的频率与强迫力频率相同，它的振幅及初位相与初始条件无关，完全由强迫力和系统的