线性代数方程组的求解与Matlab编程.docVIP

PAGE 29 - PAGE 1 - 目录 TOC \o 1-2 \h \u 31934 1 前言 - 2 - 3229 1.1 国内外研究现状 - 2 - 8466 1.2 课题的研究意义 - 3 - 16428 1.3 本文所完成的工作 - 4 - 4964 2 预备知识 - 4 - 30298 2.1 线性方程组的定义 - 4 - 11530 2.2 线性方程组有解判别定理 - 5 - 18925 2.3 线性方程组解的结构 - 6 - 20827 3 线性方程组的求解方法 - 10 - 32257 3.1 行阶梯法解线性方程 - 10 - 22449 3.2 用矩阵运算法解线性方程组 - 12 - 29290 4 Matlab编程方法及实例 - 15 - 5842 4.1 Matlab中的行阶梯法解线性方程 - 15 - 18454 4.2 Matlab中的矩阵运算法解线性方程 - 21 - 9284 结 论 - 32 - 1 前言 1.1 国内外研究现状 线性方程组是数学领域非常重要的研究点，对此，国内外数学学家经过长期的钻研和思考，为这个课题做出了许多贡献，在科技和学术日益进步的今天，数学已经与我们的生活息息相关，影响着社会的进程和科技的发展。我们大学所学的的线性代数方程组的基础理论和求解方法，几乎都源于著名国内外数学学家的研究成果，在他们的著作中有所收录。而在实际的生活中，我们需要确认所研究的线性方程组，并对这个目标作出细致的研究和分析，我们重点研究的对象就是这些线性代数方程组中的环节。 线性代数方程组在解法上非常丰富，数学家们研究出了各种方法，但这些方法从基础上划为两大类，就是直接法以及迭代法： 直接法就是在舍入误差为零的预设情况下，通过有限次的计算，就可以直接得出线性代数方程组精确解的方法，例如高斯消元法，这是最基础的消元法，在求解低阶线性方程组上有很好的效果，可以更好的求解，还有其他消元法也同样在求解线性方程组上十分有效，近些年来直接法获得了很大的研究进展，特别是在求解带有较大稀疏矩阵的方程组上有很好的效果。 迭代法是从一个初始向量开始，一步步逐渐逼近，依照固定的计算迭代公式，从而构建出向量的无穷序列，这个的极限则是线性方程组最精确解，通过有限次运算不能得到精确解。在数学发展历史上，迭代法是由牛顿起先研究提出的；在年，绍司威尔通过研究创立了松弛法，这也属于迭代法的范畴；R.弗莱彻等多名数学学家在世纪年代发现并创造出了共轭梯度法。迭代法在数学原理上就是通过不同的迭代过程，一步步逐渐求解出线性代数方程组的精确解，迭代法所具备的优势是：依赖的计算机存储单位数量少、程序构成上较简洁、初始的系数矩阵在求解过程中保持不变；但是在收敛性是会相对较差，同样收敛速度也会偏慢，这是迭代法的缺点。迭代法在求解大型稀疏矩阵的方程组上有很好的效果，也是此类求解的重要方法，目前利用迭代法求解的科研方向已经趋于成熟，不过在怎样让它适用于新体系下的类型，从而得到更优的性能提速上还需要更深层次的研究。 1.2 课题的研究意义 在代数学中，线性代数作为一个重要的构成部分，被广泛使用在科研学术的各个领域中，其中的关键课题之一就是解决线性代数方程组的求解问题。线性代数方程组 的求解作为计算方法中的基础组成部分，在研究数值的求解和计算领域始终是十分热 门的课题。由于计算机的局限性，导致了计算机只能识别线性化的求解问题，所以大多数的科学领域的问题，都需要转化为求解线性方程组。由此可见，线性方程组的求解就在计算机及数学科学领域有着极其重要的地位。而在高等数学中，对于求解非线性方程组或是微分方程数值解这类的数学课题通常也转变成求解线性代数方程组这样的课题。 大学的线性代数的课本里只给出了关于如何使用克拉默法则（）和使用增广矩阵来构成初等行（列）变换，对线性代数方程组进行求解，本文将利用行阶梯法、矩阵运算法等线性代数求解方法，通过Matlab编程来研究线性方程组在计算机上的求解方法。 1.3 本文所完成的工作 本文从数学角度分析并举出了两种线性代数的求解方法，分别为行阶梯法求解线性代数方程组和矩阵运算法求解线性代数方程组，两种求解方式使用的方法不同；同时，从Matlab编程的角度列举了两种求解方法在Matlab中的不同程序实例，通过实例和代码及过程展示了行阶梯法和矩阵运算法是如何在Matlab中实现的，利用Matlab工具大大减少了线性代数方程组运算所需要的人为工作，利用计算机及编程语言解决了复杂的数学运算过程。 2 预备知识 2.1 线性方程组的定义 形如 （2.1） 的方程组的叫做