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2021-05-27 发布于上海
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1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2 性质 1.3 定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】）矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似定义 1.1：设 A, B 为数域 P 上两个 n 级矩阵，如果可以找到数域 P 上的 n 级 1 可逆矩阵 X ，使得 B X AX ，就说 A 相似于 B 记作 A∽B 1.2 相似的性质 1 （1）反身性 A∽A ：；这是因为 A E AE . （2）对称性：如果 A∽ B ，那么 B∽A ；如果 A∽B ,那么有 X ，使 B X 1AX ，令 Y X 1 ，就有 A XBX 1 Y 1BY ，所以 B∽A 。 1 （3 ）传递性：如果 A∽B ， B∽C ，那么 A∽ C 。已知有 X ,Y 使 B X AX ， 1 1 1 1 C Y BY 。令 Z XY ，就有 C Y X AXY Z AZ ，因此， A∽C 。 1.3 相似矩阵的性质若 , n n A∽B A B C ，，则：（1） r ( A ) r ( B) ；引理：A 是一个 s n 矩阵，如果 P 是一个 s s 可逆矩阵， Q 是 n n可逆矩阵，那么秩（A ） =秩（ PA ）=秩（ AQ ）证明：设 A, B 相似，即存在数域 P 上的可逆矩阵 C ，使得 B C 1AC , 由引理 2 可知，秩（B ）=秩（ B C 1 AC ）=秩（ AC ）=秩（ A ）（2 ）设 A 相似于 B ， f ( x) 是任意多项式，则 f (A ) 相似于 f (B) ，即 1 1 P AP B P f (A) P f (B) n n 1 证明：设 f (x) a x a x a x a n n 1 1 0 n n 1 于是， f ( A) a A a A a A a E n n 1 1 0 n n 1 f ( B) a B a B a B a E n n 1 1 0 k k 由于 A 相似于 B ，则 A 相似与 B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵 X ,使得 k 1 k B X A X ， 1