有限元弹性力学平面问题28几个问题补充解读.ppt

土木工程学院 有限单元法 P-1/13 第 2 章 弹性力学平面问题有限单元法 2.1 三角形单元 2.2 三角形单元中几个问题的讨论 2.3 平面问题有限元程序设计 2.4 矩形单元 2.5 六结点三角形单元 2.6 四结点四边形单元 2.7 八结点曲线四边形等参元 2.8 几个问题的补充 土木工程学院 有限单元法 P-2/13 2.8.1 几个问题的补充 一、变厚问题 各单元取不同 t 。 二、不同材料问题 各单元取不同 E,μ 三、平面应力与平面应变问题 在前面三角形单元的推导中，我们假定其为 平面应力问题。工程中，还有另一类情形 ─ 平面 应变状态。例如，在对坝体或遂洞等长柱体进行 分析时，如果取 xoy 坐标平面与其横截平面行 , 而 Z 轴与其长度方向一致（如图）。 土木工程学院 有限单元法 P-3/13 那么，由于所考察物体在 Z 方向的尺寸很大， 且又受到平行于 xoy 平面，且不沿长度方向变化的 荷载作用，就可认为各个横截面应处于同样的状 况，即近似认为 Z 方向的位移分量 W =0, ( 位移与 Z 无关 ) 土木工程学院 有限单元法 P-4/13 于是，由弹性力学知，在六个应力分量中也 仅有三个独立分量 σ x ,σ y 和 τ xy , 而 不独立。 并可得到平面应变问题的物理方程。 ? ? z x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y y E ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? E xy xy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y x x E ? ? ? ? ? ? 1 1 2 土木工程学院 有限单元法 P-5/13 比较平面应力问题： ? ? 1 y y x E ? ? ?? ? ? ) 1 ( 2 ? ? ? ? ? E xy xy 得知只需把应力问题中的 E 换成 ， μ 换 成 即得应变问题。 所以在这类问题的程序设计中，通常可以同时 求解应力和应变问题，只需设置一开关变量便可 以实现。 ? ? 1 E ? ? ? 1 ? ? y x x E ?? ? ? ? ? 1 土木工程学院 有限单元法 P-6/13 四、各向异性材料 在弹性矩阵 [D] 中反映。如正交各向异性时的 弹性矩阵 [D] 为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xy y x y y x y x y x y x y x x G E E E E D 0 0 0 1 1 0 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 五、设置不同类型的单元 在工程中，同一构件经常要用到一种以上材料。 如利用角、槽钢等在开洞板内作加强筋用。另一种 情况是钢筋混凝土构件的全过程分析中，纵向受拉 筋的单元划分，如图。 土木工程学院 有限单元法 P-7/13 混凝土被划成若干平面三角形单元，而将纵 向受力钢筋（或箍筋）当作线单元（图中红线所 示），也可把钢筋等效成与混凝土叠合的三角形 单元，但此时均为两种不同材料。 有限元分析时，可认为结构是由若干（面） 单元（三角形或矩形）和线（杆）单元（二力杆） 共同组成，划分网格时，若碰到线单元，便将结 点取在线单元上，使面元和杆元使用共同的结点。 混凝土单元 钢筋单元 土木工程学院 有限单元法 P-8/13 引进杆元后，并不增加结构的自由度（未知 数），只是装配总刚和计算过程中多了杆元单刚。 如本来是三个三角形单元的结点，可能还有两个 杆元汇交如同一个结点。 每个节点 2 个自由度 土木工程学院 有限单元法 P-9/13 应力矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos cos symmetric l EA K e l ? ? ? ? ? ? ? ? sin cos sin cos ? ? ? l E S 杆元单刚的一般形式可取为