信息论基础理论与应用课后答案全.pdfVIP

第二章课后习题 【2.1】设有 12 枚同值硬币，其中有一枚为假币。但只知道假币的重量与真币的重量不 同，但不知究竟是重还是轻。现用比较天平左右两边轻重的方法来测量。为了在天平上称 出哪一枚是假币，试问至少必须称多少次？解：从信息论的角度看， “12 枚硬币中，某一枚为假币”该事件发生的概率为 P = ； “假币的重量比真的轻，或重”该事件发生的概率为 P = ； 为确定哪一枚是假币，即要消除上述两事件的联合不确定性，由于二者是独立的，因 此有 I = log12 + log2 = log24 比特 而用天平称时，有三种可能性：重、轻、相等，三者是等概率的，均为 P = ，因此天平 每一次消除的不确定性为 I = log3 比特 因此，必须称的次数为 I1 log24 = ≈2.9 次 I 2 log3 因此，至少需称 3 次。 【延伸】如何测量？分 3 堆，每堆 4 枚，经过 3 次测量能否测出哪一枚为假币。 【2.2】同时扔一对均匀的骰子，当得知“两骰子面朝上点数之和为 2 ”或“面朝上点数之 和为 8”或“两骰子面朝上点数是 3 和 4”时，试问这三种情况分别获得多少信息量？ 解： “两骰子总点数之和为 2 ”有一种可能，即两骰子的点数各为 1，由于二者是独立的， 因此该种情况发生的概率为 P = × = ，该事件的信息量为： I = log36 ≈5.17 比特 “两骰子总点数之和为 8”共有如下可能： 2 和 6、3 和 5、4 和 4 、5 和 3、6 和 2，概率 为 P = × ×5 = ，因此该事件的信息量为： I 比特 “两骰子面朝上点数是 3 和 4 ”的可能性有两种： 3 和 4 、4 和 3，概率为 P = × ×2 = ，因此该事件的信息量为： I = log18 ≈4.17 比特 【2.3】如果你在不知道今天是星期几的情况下问你的朋友“明天星期几？”则答案中含 有多少信息量？如果你在已知今天是星期四的情况下提出同样的问题，则答案中你能获得 多少信息量（假设已知星期一至星期日的顺序）？解： 如果不知今天星期几时问的话，答案可能有七种可能性，每一种都是等概率的，均为 P = ，因此此时从答案中获得的信息量为 I = log7 = 2.807 比特 而当已知今天星期几时问同样的问题，其可能性只有一种，即发生的概率为 1，此时获得 的信息量为 0 比特。 【2.4】居住某地区的女孩中有 25%是大学生，在女大学生中有 75%是身高 1.6 米以上的， 而女孩中身高 1.6 米以上的占总数一半。假如我们得知“身高 1.6 米以上的某女孩是大学 生”的消息，问获得多少信息量？ 解： 设 A 表示女孩是大学生， P(A) = 0.25； B 表示女孩身高 1.6 米以上， P(B | A) = 0.75，P(B) = 0.5 “身高 1.6 米以上的某女孩是大学生”的发生概率为 P(A| B) = P(AB) = P(A)P(B | A) = 0.25×0.75 = 0.375 P(B)