基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案).pdfVIP

基本不等式及其应用 1．基本不等式 a＋b 若 a0,，b0，则 ≥ ab，当且仅当 时取 “＝”． 2 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正； （一正） (2)和或积为定值； （二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值． （三相等） 2 ．常用不等式 2 2 (1)a ＋b ≥2 ab (a，b ∈R) ． a b (2) ab a ,b 0 2 2 2 a b 注：不等式 a ＋b ≥2ab和 ≥ ab 它们成立的条件不同，前者只要求 a、 2 a b 2 b 都是实数，而后者要求 a、b 都是正数 .其等价变形： ab≤（ ） . 2 2 a b (3)ab≤ (a，b ∈R) ． 2 b a (4) ＋ ≥2(a，b 同号且不为 0)． a b 2 2 2 a b a ＋b (5) 2 (a，b ∈R). 2 2 2 a b a b 2 （6 ） ab a, b 0 2 2 1 1 a b 3 3 3 a ＋b ＋c abc≤ ; a,b,c 0 (7) 3 1 / 12 a＋b＋c 3 (8) 3 ≥ abc； a, b,c 0 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 2 2 (1)求最小值： a0 ，b0，当 ab 为定值时， a＋b，a ＋b 有 ，即 a 2 2 ＋b≥ ，a ＋b ≥ . (2)求最大值： a ＞0，b＞0，当 a＋b 为定值时， ab 有最大值，即 ； 2 2 或 a ＋b 为定值时， ab 有最大值 (a＞0，b＞0)，即 . a b 设 a，b ∈R ，且 a＋b＝3，则 2 ＋2 的最小值是 ( ) A.6 B.4 2 C.2 2 D.2 6 a b a b a b a＋b 解：因为 2 ＞0，2 ＞0，由基本不等式得