计算地球流体力学：第3讲 有限差分法的相容性、收敛性和稳定性.pptx

第三讲 有限差分格式的相容性、收敛性 及稳定性;2;有限差分格式的截断误差与相容性 有限差分格式的收敛性 有限差分格式的稳定性;有限差分格式的截断误差;有限差分格式的相容性;有限差分格式的相容性;分析差分格式的相容性举例;截断误差为：;考虑一维扩散方程 (2.6)：;;一维扩散方程 (2.6)：;分析差分格式的相容性举例;有限差分格式的截断误差与相容性 有限差分格式的收敛性 有限差分格式的稳定性;有限差分格式的收敛性;有限差分格式的收敛性举例;连续利用(3.6)，可得;17;由此看出，计算时要用到初始条件在点集 上的值，如图2.1.9所示， 是由图中标有“ ”的诸点决定的，包含“ ”点在内的区域称为数值解的依存域。另一方面，平流方程(2.4a)的一族特征曲线为 (其中 为任意常数)。; 由上述分析可以看出，差分格式(2.13)的解不能收敛到平流方程定解问题(2.4)的解。所以差分格式(2. 13)不收敛。; 下面再考虑平流方程(2.4a)的时间向前差，空间向后差格式(2.15)，;将(2. 15)写成;如果令 ，则上式右边的两项系数均为非负，由此可得;如果令 ，则上式右边的两项系数均为非负，由此可得; 在上述证明中，条件 不可省略。这个条件称为柯郎条件，它揭示了一个差分格式收敛的必要条件：真解的特征线必须在相应的数值解的依存域内，即; 前面给出了不收敛和收敛的两个差分格式。应注意到，这两个差分格式都是相容的。由此可以看出，当格式满足相容条件时，并不能保证它的收敛性。对于一个相容的差分格式，这样来判定是否收敛，当然太麻烦了。通过后面的 Lax 等价定理我们会看到，讨论格式的收敛性问题可以转化为讨论格式的稳定性问题。;有限差分格式的截断误差与相容性 有限差分格式的收敛性 有限差分格式的稳定性; 在用差分方法求数值解的过程中，计算是按时间逐层推进的。如果考虑二层差分格式，在计算第n+1层上的值 时，要用到第 n 层上的值 ，而计算这些值时的舍入误差必然会影响到 的值。如果这种误差的影响随着时间的推进，保持一定或越来越小，则可以在一定精度下保证数值解??质量，但如果反之，这种误差的影响变得越来越大，则数值解就会被歪曲，以致掩盖差分格式的解的面貌，甚至使计算无法进行下去。分析这种误差传播的情况，便是所谓的稳定性问题，前种情况称格式是稳定的，后种情况称格式是不稳定的。;为了度量误差及其它应用，引入范数;为了度量误差及其它应用，引入范数; 如果按上述稳定的定义来直接验证某个差分格式的稳定性，往往比较复杂，因此，关于稳定性的定义，除上述描述外，还有多种提法：; 最后给出一个 Lax 在1953年证明的，关于相容性、收敛性和稳定性之间关系的定理，Lax 等价定理：对于一个适定的线性初值问题以及它的一个具有相容性的差分格式，差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充分必要条件。 ; 引用这个定理需要注意3个条件：问题是初值问题，包括周期边界条件的初边值问题，问题是适定的，问题是线性的。这个定理无论在理论上还是在实际应用中都是十分重要的。一般来说，差分格式的相容性是容易验证的，而要证明一个差分格式的收敛性是比较困难的，而判别一个差分格式的稳定性，则有许多方法及准则可用，因此从某种程度上来说是比较容易的，有了 Lax 定理，我们可以着重讨论差分格式的稳定性，一般不再讨论收敛性问题。;第二讲及第三讲小结;课外作业;谢谢！