计算地球流体力学：第2讲 有限差分格式的构造.pptx

第三讲 有限差分格式的相容性、收敛 性及稳定性;第二讲 有限差分格式的构造; 大气海洋方程是复杂的非线性偏微分方程组，在其解析解尚未可知的情况下，需要利用数值方法进行求解，目前常用的数值方法有：有限元法、有限差分法和谱方法等。有限差分法是其中发展最早，最成熟并且目前仍在广泛应用的一种方法，具有直观，易于操作和便于重要物理量的保持等优点。;发展方程及其算子形式 网格剖分 发展方程差分格式的构造;发展方程及其算子形式 网格剖分 发展方程差分格式的构造; 与时间 t 有关的偏微分方程称为发展型偏微分方程，简称为发展方程。抛物型方程和双曲型方程都属于发展方程。下面介绍几种简单的发展方程。;属于最简单的一阶双曲型方程，其中，a 为常数，u 为两个自变量的函数 u(x,t), t 为时间坐标，x 为空间坐标。若 a 为待求函数 u，则方程称为非线性平流方程:;线性平流方程初值问题;线性平流方程初边值问题;;下面简单列举两个二维发展方程的例子。;例 2.4 正压大气浅水波方程;发展方程的算子形式;对于一维线性平流方程 (2.1);对于一维非线性平流方程 (2.2);对于一维热传导方程 (2.6)，;发展方程的算子形式举例;对于正压大气浅水波方程 (2.9);发展方程及其算子形式 网格剖分 发展方程差分格式的构造;发展方程及其算子形式 网格剖分 发展方程差分格式的构造; 用差分法求解偏微分方程定解问题是把连续问题离散化，因此首先要对求解区域进行有规则的网格剖分。发展方程的求解区域分为时间域和空间域，所以相应的剖分也分为对时间域的剖分和对空间域的剖分。 ; 对时间域的剖分，就是根据实际情况，将时间域分成等距或不等距的小区间。;例如，对于一维线性平流方程初边值问题 (2.4)，; (1) 一维情形，空间域与时间域的剖分类似，就是根据实际情况，将空间域分成等距或不等距的小区间。;例如，对一维线性平流方程初边值问题(2.4)，;矩形域;用平行于坐标轴（时间轴和空间轴）的两族直线;这两族直线称为网格线，其交点 称为网格点(网点，结点或节点)，简称格点。长度 称为空间格距（或步长），若恒为常数(记为 )，称为对空间坐标的等距剖分，反之，称为对空间坐标的不等距剖分。; 等距或不等距剖分的选择，以及格距的大小，不是随意的，都要根据实际问题的需要和差分法的内在性质等方面的要求来决定。; (2) 二维情形，空间域为 xy 平面内的区域，常用规则的网格剖分有：矩形网格、正三角形网格和正六边形网格，如图2.2所示。; 图 2.3 显示的是二维空间域矩形网格的等距剖分。x 和 y 方向的格距分别为 和 ，图示中编号为 的网格点 表示其坐标位置为：; (3) 对于三维情形，在大气数值模式的设计中，对空间域的剖分，会涉及到大气的垂直分层问题，将在后面章节中介绍。;发展方程及其算子形式 网格剖分 发展方程差分格式的构造;发展方程及其算子形式 网格剖分 发展方程差分格式的构造; 同一个发展方程问题可以用多种多样的有限差分格式来近似求解，而同一种差分格式也可以通过不同的构造方法来得到。常用的构造差分格式的方法有：Taylor展开法、积分方法、特征线法和待定系数法等。;以一维线性平流方程初边值问题(2.4)为例进行介绍：;33; 第二步，利用 Taylor 展开式对微分方程 (2.4a) 中的偏微分项进行差分逼近。;Taylor展开式;Taylor展开式;Taylor展开式; 先对时间变量 t 进行分析，在(2.11)式中，令 ，t 分别等于 和 ，然后进行相应的运算，可得 ;(2.11);38;(2.12);(2.12); 对空间变量 x 进行完全类似的分析，则可以得到逼近 的三种不同形式的差分:; 对空间变量 x 进行完全类似的分析，则可以得到逼近 的三种不同形式的差分:; 以上对时间和空间偏微分项的差分近似，在数值预报中分别称为时间离散方案和空间离散方案，各选择一种方案，比如，都选择向前差分，代入 (2.4a) 中，;(2.13) 式称为逼近微分方程(2.4a)的有限差分方程，简称为差分方程（或称为差分格式）。可以把(2.13)改写成便于计算的形式：; 第二步，利用Taylor展开式对微分方程中的偏微分项进行差分逼近。;以一维线性平流方程初边值问题(2.4)为例进行介绍：;求解定解问题 (2.4) 的差分方程组:; 第二步，利用Taylor展开式对微分方程中的偏微分项进行差分逼近。;差分方程组的求解;两层显示差分格式;用Taylo