(完整版)复合梯形公式与复合辛普森公式对比.docx

SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 题目名称：复合梯形公式与复合辛普森公式对比 学生姓名 : 学生学号 : 班 级 : 学院 ( 系): 1 目录 1. 概述 3 2. 问题提出 4 3. 算法推导 5 4. 算法框图 6 4.1 复合梯形公式算法流程图 6 4.2 复合辛普森公式算法流程图 7 5. MATLAB 源程序 8 6. 结论与展望 9 图表目录 图 4-1 复合梯形公式算法流程图 6 图 4-2 复合辛普森公式算法流程图 7 图 6-1 MATLAB 计算结果 9 表 2-1 函数计算结果表 4 2 概述 梯形求积公式和辛普森求积公式分别是牛顿 - 科斯特公式中 n=1 和 n=2 时的 情形。其中梯形求积公式可表示为 b b a ( f (a) f (b)) f ( x)dx a 2 其公式左端是以 [a,b] 区间上积分，右端为 b-a 为高、端点函数值为上下底的梯形的面积值，故通称为梯形公式，具有 1 次代数精确度。 类似的，辛普森求积公式可以表示为 S b a [ f (a) 4 f ( a b ) f (b)] 6 2 该公式一般在 立体几何中用来求 拟柱体的 体积，由于偶数 n 阶牛顿 -科特斯求 积公式至少具有 n+1 次代数精确度，所以辛普森公式实际上具有 3 次代数精确 度。 由于牛顿 -科斯特公式在 n≥ 8 时不具有稳定性， 故不可能通过提高阶的方法 来提高求积精度。为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间 （通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式。这种方法称为复合求积法。 本文主要讨论复合梯形公式和复合辛普森公式在同一数学问题中的应用。 首 先给出了复合梯形公式和复合辛普森公式的推导过程以及其余项的表达形式， 然后用流程图的形式介绍算法思路，再运用 MATLAB 编写代码计算结果，最后对结果进行对比讨论。 希望通过两个算法在同一个算例中的应用对比， 更好的理解和掌握复合梯形 公式和复合辛普森公式的适用范围和适用条件。并且能够熟悉 MATLAB 编程求解问题的流程，掌握编程化的思想方法。同时对两种方法的计算结果对比分析， 讨论两种求积方法的计算精度。 3 问题提出 ???????? 对于函数 f (x) = 给出的函数表如下，试用复合梯形公式和复合辛普森公 ?? 1 ???????? 式计算积分 I = ∫ ????。 0 ?? 表 2-1 函数计算结果表 x f(x) 0 1 1/8 0.997397867081822 1/4 0.989615837018092 3/8 0.989615837018092 1/2 0.958851077208406 5/8 0.936155636704740 3/4 0.908851680031112 7/8 0.877192573984031 1 0.841470984807897 4 算法推导 3.1 复合梯形公式 根据梯形公式， b b a ( f (a) f (b)) f (x)dx a 2 将区间 [a, b] 划分为 n 等份，分点 ?? ??-?? ,n，在每个子区 ??+ ???, h = , k = 0,1, ?? = ?? 间 [??, ?? ](k = 0,1, , n - 1) 上采用梯形公式，则得： ??+1 I b n 1 h n 1 f ( x)dx f (x)dx [( f ( xk ) f (xk 1)] Rn ( f ) a k 0 2 k 0 记 Tn h n 1 [ f ( xk ) f ( xk 1 )] h [ f ( a) 2 n 1 f ( xk ) f (b)] 2 k 0 2 k 1 则 T??为复合梯形公式。 另外，复合梯形公式的余项可表示为 R ( f ) b a h2 f ( ) n 12 3.2 复合辛普森公式 根据辛普森公式 b a a b S [ f (a) 4 f ( ) f (b)] 6 2 将区间 [a, b] 划分为 n 等份，在每个子区间 [?? 上采用辛普 ??, ????+1](k = 0,1, , n - 1) 森公式。 若记 1 ?? =??+ ? ??+1/2 ?? 2 则得 5 b n 1 xk 1 h n 1 I f (x)dx f ( x)dx [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/ 2 ) f (xk 1)] Rn ( f ) xk a k 0 6 k 0 记 h[ f (a) n 1 n 1 Sn 4 f (xk 1/ 2 ) 2 f ( xk ) f (b)] 6 k 0 k 1 该公式即为复合辛普森公式。