第五节极限运算法则.ppt

例 子 例7. 求 例8 . 求 小 结 3. 求 4. 试确定常数 a 使 备用题 设 作 业 二、极限的复合运算法则 定理 设函数 是由函数 与函数 复合而成， 在点x0的某去心邻域内有定义， 若 且存在 当 时， 有 则 （变量代换的理论依据） ① 意义： 二、极限的复合运算法则 定理 设函数 是由函数 与函数 复合而成， 在点x0的某去心邻域内有定义， 若 且存在 当 时， 有 则 ① 证: 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 定理 设函数 是由函数 与函数 复合而成， 在点x0的某去心邻域内有定义， 若 且存在 当 时， 有 则 ① 证: 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 故 因此①式成立. 复合函数极限运算法则的其它几种形式： 设 y = f (u) , u = g(x)， 例11 解 例11 解: 令 ∴ 原式 = 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 习题1?4: 2,4 (1,3,), 5 习题1?5: 2(1,3),3,4(1,2) 极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 课后自测 1、 证明 2、 证明 3、 证明 4、 求 5、 求 6、 求 证明 7、 证明 8、 证明 9、 求 10、 思考题1 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？ 思考题解答 没有极限． 假设 有极限， 有极限， 由极限运算法则可知： 必有极限， 与已知矛盾， 故假设错误． 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？ 解法 1 原式 = 解法 2 令 则 原式 = 高 等 数 学 前一页 后一页 返 回 广 东 工 业 大 学 第五节 极限运算法则 一、 极限的四则运算法则 二、 复合函数的极限运算法则 一、极限的四则运算法则 定理1 一、极限的四则运算法则 定理1 证明：仅证明结论（3），并考虑极限过程为 由极限与无穷小的关系，要证明 证明：仅证明结论（3），并考虑极限过程为 由极限与无穷小的关系，要证明 有界。 推广： 若 则 特例： 注意： （1）和与积的法则 每一项的极限存在 （2）商的法则 有限项 每一项的极限存在 分母的极限不为零 一、极限的四则运算法则 说明： （1）上述关于函数极限的四则运算法则 对数列极限同样成立. 定理2 若 则有 定理3 说明： （1）上述关于函数极限的四则运算法则 对数列极限同样成立. 证明：令 由极限的保号性有 而由极限的四则运算性质有 （2）上述运算法则可推广到多个函数的情形. 例1 例1 解 小结: 即当 f (x) 是一个关于 x 的多项式时，有 则有 注意： 则上述商的运算法则不能用. 例2 例3 求极限 2002 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 例3 解 例3 (消去零因子法) 例4 例4 解 无穷小分出法:以分子和分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 小结: ★ 例5 例5 解 先变形再求极限. 解 例6 ? 正解: 例7 解 左右极限存在且相等, 例8 求极限 例9 求极限 例10 求极限 2002 二、极限的复合运算法则 二、极限的复合运算法则 定理 设函数 是由函数 与函数 复合而成， 在点x0的某去心邻域内有定义， 若 且存在 当 时， 有 则 （变量代换的理论依据） ① 高 等 数 学 前一页 后一页 返 回 广 东 工 业 大 学 * *