6.4.1平面几何中的向量方法（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册.docVIP

第六章 平面向量及其应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 一、教学目标 1.会用向量方法解决简单的几何问题； 2.体会向量在解决几何问题中的作用； 3.通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等数学素养。 二、教学重难点 1.用向量方法解决几何问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”； 2.能够将几何问题转化为平面向量问题。 三、教学过程： 1、复习回顾 （1） 平面两个向量的数量积：； （2） 向量平行的判定: ； （3）向量平行与垂直的判定:； （4）平面内两点间的距离公式： （其中，） （5）求模：； ； 2.探索新知 例1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明　法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0a1)， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq \r(2)a， ∴eq \o(DP,\s\up18(→))·eq \o(EF,\s\up18(→))＝(eq \o(DA,\s\up18(→))＋eq \o(AP,\s\up18(→)))·(eq \o(EP,\s\up18(→))＋eq \o(PF,\s\up18(→)))＝eq \o(DA,\s\up18(→))·eq \o(EP,\s\up18(→))＋eq \o(DA,\s\up18(→))·eq \o(PF,\s\up18(→))＋eq \o(AP,\s\up18(→))·eq \o(EP,\s\up18(→))＋eq \o(AP,\s\up18(→))·eq \o(PF,\s\up18(→))＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋eq \r(2)a×a×cos 45°＋eq \r(2)a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0． ∴eq \o(DP,\s\up18(→))⊥eq \o(EF,\s\up18(→))，即DP⊥EF. 法二： 如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以eq \o(DP,\s\up18(→))＝(x，x－1)，eq \o(EF,\s\up18(→))＝(1－x，x)， 由于eq \o(DP,\s\up18(→))·eq \o(EF,\s\up18(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以eq \o(DP,\s\up18(→))⊥eq \o(EF,\s\up18(→))，即DP⊥EF. 思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？ “三步曲”： (1)构建平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为平面向量问题； (2)通过平面向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、模等问题； (3)将平面向量运算运算结果“翻译”成平面几何关系. 思考：你能总结向量的线性运算法的四个步骤吗？ 生答：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化． 思考：你能总结向量的坐标运算法的四个步骤吗？ 生答：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化． 变式训练:如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点， 求证：AF⊥DE. 解：（基底法）设eq \o(AD,\s\up18(→))＝a，eq \o(AB,\s\up18(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0， 又eq \o(DE,\s\up18(→))＝eq \o(DA,\s\up18(→))＋eq \o(AE,\s\up18(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \o(AF,\s\up18(→))＝eq \o(AB,\s\up18(→))＋eq \o(BF,\s\up18(→))＝b＋eq \f(a,2)， 所以eq \o(AF,\s\up18(→))·eq \o(DE,\s\up18(→))＝(b＋eq \f(a,2))·(－a＋eq \f(b,2))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0． 故eq \o(AF,\s\up18(→))⊥eq \o(DE,\s\up18(→))，即AF⊥DE. （坐标法） 如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2， 则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，所以eq \o(AF,\s\up18(→))＝(2,1)，eq \o(DE,\s\up18(→))＝(1，