6.4.3 第2课时 正弦定理（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册.docVIP

第六章 平面向量及其应用 6.4.3 第2课时 正弦定理 一、教学目标 1. 了解正弦定理的多种证明方法，尤其是向量证明法； 2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 3.通过对正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。 二、教学重难点 1.利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题； 2. 正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路。 三、教学过程： 1、创设情境： 某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求得B、C两点的距离?现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得∠A=600，在C点测得∠C=450,如何求得B.C两点的距离? 学生活动1 探究1：你能把它转化成数学问题，写出已知量和要求的量吗？ CA C A B b c a 探究2：在中，如何求边BC的长呢？回忆一下直角三角形的边角关系?（C为直角） 如右图，中的边角关系： ________；________； ____=1____； ∴____c____；____c____；____c____； ∴__________________________________ 那么，上述结论，如何证明？ （学生小组活动探究） 探究3：这个关系式对任意也成立吗 二. 建构数学 探究4：如何证明这个等式？（教师点拨） (作高法) 在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c， 1.在RtΔABC中，∠C=900, csinA=a,csinB=b，即 = 。 2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|==，即 ，同理得 ，故有 。 3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|==，即 ，故有。 （学生小组活动探究） （向量法）过作单位向量垂直于，由+，两边同乘以单位向量得?(+?，则?+?? ∴||?||cos90?+||?||cos(90??)=| |?||cos(90??) ∴ ∴= 同理，若过作垂直于得：= ∴ 探究5：还有其它的证明方法吗？课后尝试用其它方法来证明! 正弦定理：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，即：==它适合于任何三角形。 探究6：正弦定理结构的最大特点是什么？ ____结构和谐、对称体现了数学的和谐美与对称美_____________________ 探究7：正弦定理里面包含了几个等式？ 生答：3个 ，=， 每个等式中有几个量？ 生答：4个 解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余三个未知元素的过程。 学生活动3 如图下列哪些可以直接使用正弦定理解三角形？ 归纳使用正弦定理解三角形的条件:_____（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角___________________________________ ___（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）______ 三. 数学应用 例1. 某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求得B、C两点的距离?现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得∠A=600，在C点测得∠C=450,如何求得B.C两点的距离? 解：由正弦定理得，，所以 答： 变题:在△ABC中，已知b=10, A=60?,C=45?,求角B,a和c 答案：B=1050 ,a=;c= 总结:此问题归为已知两角和任一边求其他两边和一角 例2.在△ABC中，已知a=16， b=， A=，求角B，C和边c 解：由正弦定理得 解得 所以 变题: 在△ABC中，已知a=16，b=， B=45° .求角A，C和边c 解：由正弦定理得 解得 法一、 法二、 总结:此问题归为已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角） 四、小结： 正弦定理： 应用:（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。 方法:(1)从特殊到一般的方法；(2)作高法证明正弦定理； (3)向量法证明正弦定理。 五、作业：习题6.4.3