复变函数级数.pptVIP

2021/3/17 * 例1 求 解: 根据定义,有 2021/3/17 * 2.3.5 反三角函数 定义8 如果 , 则称 分别为 的反正弦、反余弦、反正切函数,分别记为 反三角函数与对数函数之间的关系: （1） （2） （3） 2021/3/17 * 证（2）: 类似可得（1）、（3）。 2021/3/17 * 例1 解 2021/3/17 * 解 例2 2021/3/17 * 2.3.6 双曲函数 定义 , , 分别称为双曲余弦、正弦和正切函数. 显然, 和 都是以 为周期的周期函数. 为偶函数, 为奇函数. 而且它们都是复平面内的解析函数,导数分别为: 2021/3/17 * 相关公式: 2021/3/17 * 2.3.7 反双曲函数 反双曲函数定义为双曲函数的反函数. 反双曲正弦: 反双曲余弦: 反双曲正切: 2021/3/17 * 2021/3/17 * 2021/3/17 * 定理２ 函数 在区域 内解析的充要条件为 （1） 在 内可微; （2） 在 内满足C—R方程 。 定理3 函数 在区域 内解析的充分条件为 （1） 在 内连续; （2） 在 内满足C—R方程。 2021/3/17 * 例2 讨论函数 的可导性,并求其导数. 解 由 得 则 显然,在复平面内 和 的偏导 数处处连续, 2021/3/17 * 且 即　　　和　　　处处满足C—R条件且处处 可微,所以,　　　　在复平面内处处可导 且 2021/3/17 * 例3 讨论函数　　　　　 的可导性. 解 因为 得 显然, 、 处处具有一阶连续偏导数,但仅当 时, 、 满足C—R条件.因此, 仅在点 处可导. 2021/3/17 * 例4 证明 在复平面上不可微. 证 由于 ,于是, 从而 显然,对复平面上任意一点 , 都不满足 C—R条件,所以 在整个复平面上 不可微. 2021/3/17 * 例5 讨论下列函数的解析性. （1） ; （2） ;（3） . 解 （1）设 因为 且这四个偏导数处处连续,故 在复平面上处处解析. 2021/3/17 * （2）因为 , 设 ,而 所以 在复平面上处处不解析． （3） 因为 设　　　　　　 , 由于 2021/3/17 * 这四个偏导数虽然处处连续,但C—R条 件仅在原点处成立,因而函数 在复平面内的原点处可导,其它点不可导, 可知该函数在复平面上处处不解析. 2021/3/17 * 2.3 初等函数 2021/3/17 * 2021/3/17 * 2.3.1 指数函数 1.定义: 复变量的指数函数定义为 2.性质: （1）指数函数 在整个 的有限平面内都有定 义,且处处不为零. （2） （3）指数函数是以 为周期的周期函数． （4）指数函数　 在整个复平面上解析,且有 2021/3/17 * （5） ; （6）因 ,从而 （7）虽然在 平面上, 但