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平面向量复习讲义 向量有关概念： 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线 段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； uuu 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （与AB共线的单位向量是 uuu AB ）. -uuuk/ ； |AB| 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记 作：a // b，规定零向量和任何向量平行。 提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量 共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（因为有0）； 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a的相反向量是一a。女口 下列命题：（1）若a b，则a b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相 同，终点相同。（3）若AB DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形， uun uuir r r r r r r r r r r r r 贝U AB DC o （5）若 a b,b c，贝U a c。（ 6） 若 a//b, b//c，贝U a//c。其中正确的是 （答: （4） （5）） 向量的表示方法： .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB，注意起点在前，终点在后； .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a，b，c等； 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， — r r r r ? j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a xi y j x,y，称x, y为向量a的坐 标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向 量的终点坐标相同。 平面向量的线性运算： （1）向量加法： — r 三角形法则：（“首尾相接，首尾连”），如图，已知向量a、b ?在平面内任取一点 A，作AB = a， BC = b，则向量AC叫做a与b的和，记作a 定.：a + 0-= 0 + a= a, 当向量a与b不共线时，a+ b的方向不同向，且| a + b || a |+| b | ； 当a与b同向时，贝U a + b、a、b同向，且|a + b |=| a|+| b |, 当a与b反向时，若|a || b |,贝U a+b的方向与a相同，且| a + b |=| a卜| b |； 若 |a|| b|,则 a + b 的方向与 b 相同，且 |a+b|=| b |-| a|. 结论：a b a b 平行四边形法则：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对 应向量就是和向量。 加法的运算律 向量加法的交换律： a+b=b+a 向量加法的结合律： (a+b) +c=a+ ( b + c) 向量减法: a与b的差.即：ab = a a与b的差.即：a b = a + ( b) 求两个向 1?用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若b + x = a，则x叫做a与b的差, 记作a b 2.求作差向量：已知向量 a、b，求作向量 ■/ (a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a 作 OA = a, OB = b 即a b可以表示为从向量 作法：在平面内取一点 O, 由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 注意：1 AB表示a b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2用“相反向量”定义法作差向量，a a b = a + ( b) B b ” a+ ( b) J uuuBD) urn uuu BD) urn 厂 ②CB :③0 ); uuu uuiT luur uuu uuu hut 丄②AB AD DC ;③(AB CD) (AC uuur (答：① AD ; uuu T uuu r uuur T T T T ,AB a, BC b, AC c，贝U | a b c I = 1,uuu UULT 1, 1.化简：①AB BC CD 2.若正方形ABCD的边长为 向量数乘：求实数入与向量a的积的运算 1 -.尬1= I Llal ； 2.当?0时，?a的方向与a的方向 目同_;当?0时，总的方向与a的方向相反 =0时， 右=0 3 ?向量数乘的运算律 X 旧)=_ (入 b a (入 + i_)a= ?a + 回 ；?(a + b )= ?a+ ?b 共线向量定理 a是一个非零向量，若存在唯一一个