第三届qut华罗庚金杯qut少年数学邀请赛初赛试题与解答.doc

第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题与解答 　　（1）光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。问：光从太阳到地球要用几分钟（得数保留一位小数）？ 　　[分析]知道距离和速度，求通过全程的时间，这是很容易做的一道题。但是因为给出的数字很大，同学们在大数算术运算时一定要注意计量单位，不然便会出错。 　　[解法1] 将距离单位换为“万千米”，时间单位用“分”。 　　光速=30万千米／秒=1800万千米／分， 　　距离=1亿5千万千米=15000万千米， 　　时间=距离÷速度=15000÷1800 　　 　　[解法2]如果时间单位用“秒”，最后必须按题目要求换算为“分”． 　　光速=30万千米／秒， 　　距离=15000万千米， 　　时间=15000÷30=500（秒）， 　　 　　答：光从太阳到地球约需8.3分钟。 　　（2）计算 　　 　　[分析]这是一道很简单的分数四则运算题，但要在30秒钟内算出正确答案，需要平时养成简捷的思维习惯。同学们可以比较一下后面的两种解法。 　　[解法1] 先求出30，35，63的最小公倍数。30=2×3×5；35=5×7；63=3×3×7；所以公倍数是2×3×3×5×7=630。原式通分，有 　　 　　〔解法2〕 　　 　　[注] 两种解法同样都用到通分和约分的技巧，只有一点小区别：解法2在通分时不急于把公分母算出来，而是边算边约分。这一点小小的不同，却节省了求连乘积的运算，约分也简单些，使计算快了不少哩！ 　　（3）有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83公斤、85公斤和86公斤。问：其中最轻的箱子重多少公斤？ 　　[分析]如果将3个箱子按重量区分为大、中、小，在草稿纸上可以这样写： 　　83=中+小， 　　85=大+小， 　　86=大+中． 　　这样分析后，便很容易想到简单的解法。 　　[解法1]（83＋85＋86）是3箱重量之和的2倍，所以小箱重量是 　　[解法2] （83＋85）=中+大+2×小，所以小箱重量=（83+85-86）× 　　答：最轻的箱子重41公斤。 　　[注] 我们当然可以用列方程的方法求解这道题，例如设3箱的重量分别是x，y，z，再列出方程。思维过程同上面的分析是一样的，不过速度可能会慢些。 　　 　　[分析] 这一道题，主要是检查同学们将循环小数化成分数的熟练程度。 　　[解法] 　　 　　（5）将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。 　　[分析] 我们知道，底面半径r、高h的圆柱体表面积是S=2πr2＋2πrh．本题的物体由三个圆柱组成，如果分别求出三个圆柱的表面积，还得注意减去重叠部分的面积，算起来便麻烦多了。但是仔细观察后会发现，向上的三块表面积之和恰好是大圆柱的一个底面面积，这样便想到了简单的解法。 　　[解法] 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。 　　2×π×1.52＋2×π×1.5×1＋2×π×1×1+2×π×0.5×1 　　=4.5π+3π＋2π＋π 　　=10.5π（平方米） 　　取π值为3，上式等于41.5（平方米）。 　　答：这个物体的表面积是41.5平方米。 　　[注] 因为三个圆柱的高都是1米，所以求三个圆柱侧面积之和时，还可以再简便些： 　　2π×（1.5＋1+0.5）＝6π。 　　中学生学过提取公因子知识，更应该想到这样简化的算法。这小小的简化可以使计算时间缩短几秒钟，这在初赛时可是很有用的哩！ 　　（6）一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟。在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？ 　　[分析] 顺风跑时的速度等于无风时速度与风速之和，逆风跑时的速度等于它们的差。这样便可以根据题目给出的条件计算无风时的速度，然后再求出解答。 　　[解法1] 　　顺风时速度=90÷10=9（米／秒）， 　　逆风时速度=70÷10=7（米／秒）， 　　 　　无风时跑100米需要100÷8=12.5（秒）． 　　答：无风时跑100米需要12.5秒。 　　[解法2] 当然也可以列方程求解。 　　 　　顺风跑的速度减去风速v，或是逆风跑时的速度加上风速v。列出方程 　　 　　解方程，得x=12.5（秒），v=8（米／秒）． 　　[注] 比较两种解法，解法1直接快当，解法2表达清楚，但花时间多些。所以在初赛时，列方程求解往往要慢些。 　　（7）一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：矩形的面积是多少平方厘米？ 　　[分析]考察黄、绿两个三角形，它们的底边都等于矩形的一边，它们的高相加恰好等于矩形的另一边，所以它们的面积之和等于矩形面积的一半