第3章 三维模型表示方式.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * (6)kef(e)，删除一条边e和该边的一个邻面f。 (7)kemr(e)，删除一条边e，生成该边某一邻面上的一新的内环。 (8)mekr(v1,v2,e)，连接两个点v1、v2，生成一条新的边e，并删除掉v1和v2所在面上的一个内环。 (9)kfmrh(f1,f2)，删除与面f1相接触的一个面f2，生成面f1上的一个内环，并形成体上的一个通孔。 (10)mfkrh(f1,f2)，删除面f1上的一个内环，生成一个新的面f2，由此也删除了体上的一个通孔。 为了方便对形体的修改，还定义了两个辅助的操作：公共端点。 (11)semv(e1,v,e2)，将边e1分割成两段，生成一个新的点v和一条新的边e2。 (12)jekv(e1,e2)，合并两条相邻的边e1、e2，删除它们的公共端点。 以上十种欧拉操作和两个辅助操作，每两个一组，构成了六组互为可逆的操作。 可以证明：欧拉操作是有效的，即用欧拉操作对形体操作的结果在物理上是可实现的；欧拉操作是完备的，即任何形体都可用有限步骤的欧拉操作构造出来。 集合运算 1. 正则集与正则集合运算算子 规定正则形体是三维欧氏空间中的正则集合，因此可以将正则几何形体描述如下： 设G是三维欧氏空间中的一个有界区域，且G＝bG∪iG，其中bG是G的n－1维边界，iG是G的内部。G的补空间cG称为G的外部，此时正则形体G需满足： 1）bG将iG和cG分为两个互不连通的子空间； 2）bG中的任意一点可以使iG和bG连通； 3）bG中任一点存在切平面，其法矢指向cG子空间 4）bG是二维流形。 设OP是集合运算算子（交、并或差），R3中任意两个正则形体A、B作集合运算： R=AOPB 运算结果R仍是R3中的正则形体，则称OP为正则集合算子。 正则并、正则交、正则差分别记为∪*，∩*、-*。 2.分类 Tilove对分类问题的定义为：设S为待分类元素组成的集合，G为一正则集合，则S相对于G的成员分类函数为： C(S,G)={S in G，S out G，S on G 其中， S in G=S∩iG， S out G=S∩cG， S on G=S∩bG， 3. 集合运算算法 包括以下几部分： (1)求交：参与运算的一个形体的各拓扑元素求交，求交的顺序采用低维元素向高维元素进行。用求交结果产生的新元素（维数低于参与求交的元素）对求交元素进行划分，形成一些子元素。 (2)成环：由求交得到的交线将原形体的面进行分割，形成一些新的面环。再加上原形体的悬边、悬点经求交后得到的各子拓扑元素，形成一拓扑元素生成集。 (3)分类：对形成的拓扑元素生成集中的每一拓扑元素，取其上的一个代表点，根据点/体分类的原则，决定该点相对于另一形体的位置关系，同时考虑该点代表的拓扑元素的类型（即其维数），来决定该拓扑元素相对于另一形体的分类关系。 (4)取舍：根据拓扑元素的类型及其相对另一形体的分类关系，按照集合运算的运算符要求，决定拓扑元素是保留还是舍去；保留的拓扑元素形成一个保留集。 (5)合并：对保留集中同类型可合并的拓扑元素进行合并，包括面环的合并和边的合并。 (6)拼接：以拓扑元素的共享边界作为其连接标志，按照从高维到低维的顺序，收集分类后保留的拓扑元素，形成结果形体的边界表示数据结构。 3.7 求交分类 几何造型中，通常利用集合运算（并、交、差运算）实现复杂形体的构造。集合运算需要大量的求交运算。 如何提高求交的实用性、稳定性、速度、精度等，对几何造型系统至关重要。 3.7.1 求交分类简介 多面体模型 这种模型的求交计算主要是线段和平面的求交，求交问题的解决相对简单。 多面体模型的缺点是明显的。它只能近似表示形体，同时，复杂形体表面的离散会带来巨大的数据量。 CSG模型 在这种模型中，形体通过基本体素的组合来实现。二次曲面的求交是这些造型系统中必不可少的。 当前的几何造型系统，大多采用精确的边界表示模型。 在这种表示法中，形体的边界元素和某类几何元素相对应，它们可以是直线、圆（圆弧）、二次曲线、Bezier曲线、B样条曲线等，也可以是平面、球面、二次曲面、Bezier曲面、B样条曲面等，求交情况十分复杂。 二次曲面与各种自由曲面并存的混合表示模型的采用，导致了归类求交思想的产生。 3.7.2 求交分类策略 在几何造型系统中，用到的几何元素主要有 点：3D点。 线：3D直线段、二次曲线(包括圆弧和整圆、椭圆弧和椭圆、抛物线段、双曲线段)、 Bezier曲线 (有理和非有理)、B样条曲线、NURBS曲线。 面：平面、二次曲面(包括球面、圆柱面、圆锥/台面、双曲面、抛物面、椭球面和椭圆柱面)、Bezier曲面 (有理和非有理)