数列竞赛练习题汇编.docVIP

7．椭圆的短轴长等于． 【解】 故．从而． 4、设，则函数的最大值是 ． 答案：． 解：由，所以， ，即，当，即 时取得等号． 5、 ．答案：． 解： ． 8. 10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种. 答案：1530. 推广到一般情形，设个学生按题设方式排列的方法数为, 则，，. 从而，. ∴. 2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n=_______________. (王继忠 供题) 解:设为吉祥数,则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得 (x1-1)+x2+…+xm=4,所以,为第个吉祥数.为第个吉祥数. 由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共个,三位吉祥数共个, 因以1为首位的四位吉祥数共个,以2为首位的前两个四位吉祥数为: 2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38. 3．各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为S n ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于( ) (A) 150 (B) ?200 (C) 150或 ?200 (D) ?50或400 解：首先q≠1，于是， eq \f(a1,q－1)(q10－1)=10， eq \f(a1,q－1)(q30－1)=70，∴ q20+q10+1=7．?q10=2．(－3舍) ∴ S40=10(q40－1)=150．选A． 1． 设等差数列{an}满足3a8=5a13且a10，Sn为其前项之和，则Sn (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 解：3(a+7d)=5(a+12d)，?d=－ eq \f(2,39)a，令an=a－ eq \f(2,39)a (n－1)≥0，an+1= a－ eq \f(2,39)a n0，得n=20．选C． 2． 等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－ eq \f(1,2)，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是( ) (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 解：πn=1536n×(－ eq \f(1,2)) eq \s\up8(\f(n(n－1),2)) ，故π110，π9，π12，π130．作商比较： 又， eq \f(π12,π9)=15363?( eq \f(1,2))66－361， eq \f(π13,π12)=1536?( eq \f(1,2))78－661．故选C． 1. 设数列满足，则 . 答案：8041. 由题意，，，且 ∴，. ∴， ∴. 设an是(3?的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则)=________. 由二项式定理知，，因此 ==18. 11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则 eq \a(n,∑,i=0) eq \f(1,ai)的值是 ； 解： eq \f(1,an+1)= eq \f(2,an)+ eq \f(1,3)，?令bn= eq \f(1,an)+ eq \f(1,3)，得b0= eq \f(2,3)，bn=2bn－1，?bn= eq \f(2,3)?2n．即 eq \f(1,an)= eq \f(2n+1－1,3)，? eq \a(n,∑,i=0) eq \f(1,ai)= eq \f(1,3)(2n+2－n－3)． 3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6| eq \f(1,125)的最小整数n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解：(an+1－1)=－ eq \f(1,3)(an－1)，即{ an－1}是以－ eq \f(1,3)为公比的等比数列， ∴ an=8(－ eq \f(1,3))n－1+1．∴ Sn=8· eq \f(1－(－ eq \f(1,3))n,1+ eq \f(1,3))+n=6+n－6(－ eq \f(1,3))n，?6· eq \f(1,3n) eq \f(1,125)，?n≥7．选C． 3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（ ） A．1 B．-1 C．2+