第三章复变函数的积分第节、柯西定理.docVIP

第三章 复变函数的积分 第一节 复变函数积分的概念 教学内容： 复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变 函数积分的基本性质、柯西积分定理 . 教学要求： 1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分 2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念 教学过程： 一、复变函数的积分的定义 定义 3.1 设在复平面上有一条连接 A 及 B 两点的光滑简单 曲线 C 设 f (z) u( x, y) iv ( x, y) 是在 C 上的连续函数 . 其中 u( x, y) 及 v( x, y) 是 f ( z) 的实部及虚部 . 把曲线 C 用分点 A z0, z1, z2...,zn 1,zn B分成 n 个小弧段，其中 zk xk yk (k 0,1,2,...,n) y zn B zk zk 1 z1 z0 A O x 1 在每个狐段上任取一点 kk k ，作和式 n （1） f ( k )( zk zk 1 ) k 1 令max{| zk zk 1 |} ，当 0 时，若（ 1）式的极限存在，且此 1 k n 极限值不依赖于 kk k 的选择，也不依赖于曲线 C 的分法， 则就称此极限值为 f (z) 沿曲线 C 的积分 . 记作 n C f ( z) dz lim f ( k )(zk zk 1 ) 0 k 1 当 f (z) 沿曲线 C 的负方向（从 B 到 A ）积分，记作 f ( z)dz C 当 f (z) 沿闭曲线 C 的积分，记作 f z dz C 定理 3.1 若 f (z) u( x, y) iv ( x, y) 沿光滑简单曲线 C 连 续，则 f ( z) 沿 C 可积，且 f (z)dz u( x, y)dx v( x, y)dy i v( x, y) dx u(x, y)dy,（ 2） C C C 证明： n f ( k )( zk zk 1 ) k 1 n [u( k , k )iv ( k , k )][( xk 1 xk ) i ( yk 1 yk )] k 1 n n 1 u( k , k )( xk 1 xk ) v( k , k )( yk 1 yk ) k 1 k 1 n n 1 i[ v( k , k )( xk 1 xk ) u( k , k )( yk 1 yk ) , k 1 k 1 由 f (z) u( x, y) iv ( x, y) 沿光滑简单曲线 C 连续，可知 u( x, y), v( x, y) 沿光滑简单曲线 C 也连续，当 0 时，有 2 max{| xk xk 1 |} 0 max{| yk yk 1 |} 0 1 k n 1 k n 于是上式右端的极限存在，且有 f ( z) dz u (x, y)dx v( x, y)dy i v( x, y)dx u( x, y)dy, C C C 二、复变函数积分的计算 设有光滑曲线 C : z z t x t iy t t , 即 z t 在 , 上连续且有不为零的导数 z t x t i y t . 又 设 f z 沿 C 连续 . 由公式 (2) 我们有 f (z)dz u( x, y)dx v( x, y)dy i v( x, y)dx u( x, y)dy C C C u x t , y t x t v x t , y t y t dt i v x t , y t x t u x t , y t y t dt 即 c f z dz f z t z t dt, (3) 或c f z dz Re f z t z t dt i Im f z t z t dt (4) 用公式 (3) 或 (4) 计算复变函数的积分 , 是从积分路径 C 的 参数方程着手 , 称为参数方程法 . 注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论 . 例 1 计算 zdz ，其中 C 是 C 1） 从点 1 到 i 的直线段 C1 ； 2） 从点 1 到 0 的直线段 C2 ，再从点 0 到 i 得直线段 C3 所连接成的折线段 C C2 C3 . 解：（1） C C1; z(t) 1 t it( 0 t 1) ，有： 3 zdz 1 t it )( 1 (2t 1)dt 1 (1 1 i )dt i dt i c 0 0 0 （ 2） C2 : z1 (t ) 1 t (0 t 1), C3 : z2 (t ) it (0 t 1). ，有： zdz zdz zdz 1 1 tdt 0 (1 t)dt