第五章矩阵的特征值与特征向量问题.docVIP

第四章 矩阵的特征值和特征向量问题 物理、力学和工程技术中的许多问 题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题. 计算方阵 A 的特征值，就是求特征方程 A I 0 即 n p1 n 1 p2 n 2 ... pn 0 的根 . 求出特征值 后，再求相应的齐次线性方程组 A I x 0 的非零解 , 即是对应于 的特征向量 . 这对于阶数较小的矩阵是可以的 , 但对于阶数较大的 矩阵来说 , 求解是十分困难 , 所以用这种方法求矩阵的特征值是不切实际的. 我们知道 , 如果矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 有相同的特征值 . 因此人们就希望在相似变换 下, 把 A 化为最简单的形式 . 一般矩阵的最简单的形式是约当标准形 . 由于在一般情况下 , 用 相似变换把矩阵 A化为约当标准形是很困难的 , 于是人们就设法对矩阵 A依次进行相似变换 , 使其逐步趋向于一个约当标准形 , 从而求出 A 的特征值 . 本章介绍求部分特征值和特征向量的幂法 , 反幂法 ; 求实对称矩阵全部特征值和特征向 量的雅可比方法；求特征值的多项式方法；求任意矩阵全部特征值的 QR方法 . 第一节幂法和反幂法 一 幂法 幂法是一种求任意矩阵 A 的按模最大特征值及其对应特征向量的迭代算法 . 该方法最大 的优点是计算简单 , 容易在计算机上实现 , 对稀疏矩阵较为合适 , 但有时收敛速度很慢 . 为了讨论简单 , 我们假设 (1)n 阶方阵 A 的特征值 1 , 2 ,..., n 按模的大小排列为 | 1 | | 2 | | n | (1) (2) vi 是对应于特征值 i 的特征向量 i 1,2, ,n ; v1 ,v2 ,...,vn 线性无关 . 任取一个非零的初始向量 x0 , 由矩阵 A 构造一个向量序列 x1 Ax0 x2 Ax1 ...... xk Axk 1 ...... (2) 称为迭代向量 . 由于 v1 ,v2 ,...,vn 线性无关，构成 n 维向量空间的一组基 , 所以 , 初始向量 x0 可唯一表示成 x0 a1v1 a2 v2 an vn (3) 于是 xk Axk 1 A2 xk 2 ... Ak x0 a1 1k v1 a2 k2v2 an kn vn k k k a2 2 v2 n vn 1 a1v1 an 1 1 (4) i 1 i 2,3, ,n , 因为比值 1 所以 lim xkk a1v1 k 1 (5) 当 k 充分大时有 xk 1k a1v1 (6) 从而 xk 1 1k 1a1 v1 (7) 这说明当 k 充分大时 , 两个相邻迭代向量 xk 1 和 xk 近似地相差一个倍数 , 这个倍数便是矩阵 A 的按模最大的特征值 1 . 若用 xk i 表示向量 xk 的第 i 个分量 , 则 xk 1 i 1 xk i (8) 也就是说两个相邻迭代向量对应分量的比值近似地作为矩阵 A 的按模最大的特征值 . 因为 xk 1 1 xk , 又 xk 1 Axk , 所以有 Axk 1 xk , 因此向量 xk 可近似地作为对 应于 1 的特征向量 . 这种由已知的非零向量x0 和矩阵 A 的乘幂构造向量序列 xk 以计算矩阵 A 的按模最大 特征值及其相应特征向量的方法称为幂法. 2 由 (4) 式知 , 幂法的收敛速度取决于比值 1 的大小 . 比值越小 , 收敛越快 , 但当比值 i 接近于 1 时 , 收敛十分缓慢 . 用幂法进行计算时 , 如果 1 1, 则迭代向量 xk 的各个不为零的分量将随着 k 无限增 大而趋于无穷 . 反之 , 如果 1 1, 则 xk 的各分量将趋于零 . 这样在有限字长的计算机上计 算时就可能溢出停机 . 为了避免这一点 , 在计算过程中，常采用把每步迭代的向量 xk 进行规 范化 , 即用 xk 乘以一个常数 , 使得其分量的模最大为 1. 这样，迭代公式变为 yk Axk 1 mk max yk k 1,2, xk yk /mk (9) 其中 mk 是 yk 模最大的第一个分量 . 相应地取 mk v1 xk 或 yk (10) 例 1 设 2 1 0 A 1 2 1 0 1 2 用幂法求其模为最大的特征值及其相应的特征向量 ( 精确到小数点后三位 ) 。 解 取 x0 1,1,1 T , 计算结果如表 4-1 所示。 表 4-1 k T mk xk yk 1 1 0 1 1 1 0 1 2 2 -2 2 2 1 -1 1 3 3 -4 3 -4 -0.75 1 -0.75 4 -2.5 3.5 -2.5 3.5 -0.7