第二十章曲线积分和曲面积分的计算.docVIP

《数学分析（ 1，2， 3）》教案 § 1 第一类曲线积分的计算 设函数 f x, y, z 在光滑曲线 l 上有定义且连续， l 的方程为 x x t y y t t0 t T z z t 则 f x, y, z ds T x 2 t y 2 t z2 t dt 。 t 0 f x t , y t , z t l 特别地，如果曲线 l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为 y x ， a x b ，那么有 f ( x, y) ds b f x , ( x) 1 2 ( x)dx 。 a l 例： 设 l 是半圆周 x a cost , y a sin t , 0 t 。求 (x2 y2 )ds 。 l 例： 设 l 是曲线 y 2 4x 上从点 O ( 0 , 0 ) 到点 A(1 , 2 ) 的一段，计算第一类曲线积分 yds 。 l 例： 计算积分 x2ds ，其中 l 是球面 x2 y 2 z2 a2 被平面 x y z 0 截得的圆周。 l 例： 求 Ix y ds ，此处 l 为连接三点 O 0, 0 ， A 1,0 ， B 1,1 的直线段。 l § 2 第一类曲面积分的计算 一 曲面的面积 （ 1）设有一曲面块 S ，它的方程为 z f x, y 。 f x, y 具有对 x 和 y 的连续偏导数， 即此曲面是光滑的， 且其在 XY 平面上的投影 xy 为可求面积的。 则该 曲面块的面积为 S 1 f x2 f y2 dxdy 。 xy 2）若曲面的方程为 x u,v y y u, v z z u,v 21-1 《数学分析（ 1，2， 3）》教案 令 E xu2 yu2 zu2 ， F xu xv yu yv zu zv ， G xv2 yv2 zv2 ， 则该曲面块的面积为 S EG F 2 dudv 。 例： 求球面 x2 y2 z2 a2 含在柱面 x2 y 2 ax a 0 内部的面积。 例： 求球面 x2 y2 z2 a2 含在柱面 x2 y 2 ax a 0 内部的面积。 二 化第一类曲面积分为二重积分 （ 1）设函数 x, y, z 为定义在曲面 S 上的连续函数。 曲面 S 的方程为 z f x, y 。 f x, y 具有对 x 和 y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在 XY 平面上的投影 xy 为可求面积的。则 x, y, z dS x, y, f x, y 1 f x2 fy2 dxdy 。 S  xy （ 2）设函数 x, y, z 为定义在曲面 S 上的连续函数。若曲面的方程为 x u,v y y u, v z z u,v 令 E xu2 yu2 zu2 ， F xu xv yu yv zu zv ， G xv2 yv2 zv2 ， 则 x, y, z dS x u, v , y u, v , z u, v EG F 2 dudv 。 S 例： 计算 x y z dS ， S 是球面 x2 y2 z2 a2 ， z 0 。 S 例： 计算 zdS，其中 S 为螺旋面的一部分： S 21-2 《数学分析（ 1，2， 3）》教案 x u cosv y u sin v 0 u a, 0 v 2 。 z v 注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义， 这就是为什么在第一类曲面积分中用 “二重积分符 “的原因。 例： I= x2 y2 dS ， S 是球面，球心在原点，半径为 R 。 S §3 第二类曲线积分 一 变力做功和第二类曲线积分的定义 力场 F (x, y) P( x, y) , Q( x, y) 沿平面曲线 L 从点 A 到点 B所作的功。 先用微元法， 再用定义积分的方法讨论这一问题，得 W F ds 。 AB 2. 第二型曲线积分的定义 定义 1 设 L 是一条光滑或逐段光滑曲线，且设 f x, y, z 是定义在 L 上的有界函数，将 L 沿确定方向从起 点 A 开始用分点 Ai xi , yi , zi 分成 n 个有向弧段 Ai Ai 1 ，直至终点 B 。且设 xi xi 1 xi 。在每一弧段 Ai Ai 1 上任取一点 Pi i , i , i ，作和式： n n f Pi xi f i , i , i xi 。 i 1 i 1 其中 A1 x1 , y1, z1 为起点 A ， An 1 xn 1 , yn 1 , zn 1 为终点 B 。设 max Ai Ai 1 ，这里 Ai Ai 1 表示有向 i 线段 Ai Ai 1 的长度。若当 0 时，和