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第 2 章 参数估计 上一章，我们讲了数理统计的基本概念，从这一章开始，我们研究数理统计的重要内容之一即统计推断。 所谓统计推断，就是根据从总体中抽取得的一个简单随机样本对总体进行分 析和推断。即由样本来推断总体， 或者由部分推断总体。 —— 这就是数理统计学 的核心内容 。它的基本问题包括两大类问题， 一类是估计理论 ；另一类是假设检 验。而估计理论又分为参数估计与非参数估计， 参数估计又分为点估计和区间估 计两种，这里我们主要研究参数估计这一部分数理统计的内容。 §2.1 参数估计的概念 统计推断的目的， 是由样本推断出总体的具体分布。 一般来说，要想得到总 体的精确分布是十分困难的。 由第六章知道： 只有在样本容量 n 充分大时，经验 分布函数 Fn (x) 一致 F(x)（以概率 1），但在实际问题中，并不容许 n 很大。而由 第五章的中心极限定理，可以断定在某些条件下的分布为正态分布，也就是说， 首先根据样本值，对总体分布的类型作出判断和假设， 从而得到总体的分布类型，其中含有一个或几个未知参数； 其次，对另外一些并不关心其分布类型的统计推断问题，只关心总体的某些数字特征，如期望、方差等，通常把这些数字特征也称为参数。这时，抽样的目的就是为了解出这些未知的参数。 例 1：设某总体 X ~ p( ) ，试由样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) 来估计参数 。 例 2：设某总体 X ~ N ( , 2 ) ，试由样本 (X 1 , X 2 , , X n ) 来估计参数 ， 2 。 在上述二例中， 参数的取值虽未知， 但根据参数的性质和实际问题， 可以确定出参数的取值范围，把参数的取值范围称为 参数空间 ，记为 。 如：例 1： ={ | 0} 例 2： ={( , 2 ) | 0, R} 1. 定义：所谓参数估计 ，是指从样本 ( X1 , X 2 , , X n ) 中提取有关总体 X 的信息，即构造样本的函数——统计量 g( X 1 , X 2 , , X n ) ，然后用样本值代入，求出统计量的观测值 g (x1, x2 , , xn ) ，用该值来作为相应待估参数的值。 此时，把统计量 g( X1 , X2 , , X n ) 称为参数的估计量，把 g( x1 , x2 , , xn ) 称为 参数的估计值。 点 估 计 2. 类型：包括 区间估计 1) 点估计：指对总体分布中的参数  ，根据样本  ( X1 , X 2 ,  , X n ) 及样本值 ( x1 , x2 ,  , xn ) ，构造一统计量  g( X 1, X 2 ,  , X  n ) ，将  g( x1 , x2 ,  , xn )  作为  的估计 值，则称 g( X1 , X2 ,  , Xn ) 为 的点估计量，简称点估计。记为  = g( X1  , X 2 ,  , X n ) 。 2) 区间估计：指对总体中的一维参数  ，构造两个统计量： 1 = g1 ( X 1 , X 2 ,  , X n ) 2 = g2 ( X 1, X 2 ,  , X n ) 使得待估参数以较大的概率落在  [  1 ，  2 ] 内，此时，称  [  1 ，  2 ] 为  的区间估 计。 §2.2 点估计量的求法 0、引言： 关于点估计的一般提法 ：设 为总体 X 分布函数中的未知参数或总体的某些 未知的数字特征， ( X1 , X 2 , , X n ) 是来自 X 的一个样本， (x1 , x2 , , xn ) 是相应的 一个样本值 , 点估计问题就是构造一个适当的统计量 ?( X1 , X 2 , , X n ) ，用其观察 值 ?( x1 , x2 , , xn ) 作为未知参数 的近似值，我们称 ?( X1, X 2 , , Xn ) 为参数 的 点估计量， ?( x1 , x2 , , xn ) 为参数 的点估计值，在不至于混淆的情况下，统称 为点估计。由于估计量是样本的函数，因此对于不同的样本值， 的估计值是不 同的。 点估计量的求解方法很多， 这里主要介绍 矩估计法 和极大似然估计法 ，除了 这两种方法之外，还有 Bayes方法和最小二乘法等。 一、矩估计法：（K.Pearson提出） 1.基本思想： 矩估计法是一种古老的估计方法。 大家知道，矩是描写随机变量的最简单的数字特征。样本来自于总体， 从前面可以看到样本矩在一定程度上也反映了总体 矩的特征，且在样本容量 n 增大的条件下，样本的 k 阶原点矩 Ak 1 n X i k 以概 n i 1 率 收 敛 到 总 体 X 的 k 阶 原 点 矩 mk E