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问题 ： 你知道赵洲桥吗 ? 它是 1300 多年前我国隋代建造的石拱桥 , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形 , 它的跨度 ( 弧所对的弦的长 AB) 为 37.4 m , 拱高 ( 弧的中点到弦的距离 )7.2 m ， 问题情境 : 你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ A B 37.4 7.2 设计 张彩云 实践探究 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么 结论？ 可以发现：圆是轴对称图形，任何一 条直径所在直线都是它的对称轴． · 圆是中心对称图形吗 ? 它的对称中心在哪里 ? · 一、观察思考 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心 . 圆还是旋转对称图形 , 它的旋转 中心是圆心 , 旋转角任意角度 O 如图， AB 是⊙ O 的一条弦，作直径 CD ，使 CD ⊥ AB 于 E ． 把圆沿着直径 CD 折叠时， CD 两侧的两个半圆是否能重合 ? 你能发现图中有那些相等的线段和和相等的弧？为什么？ · O A B C D E 活 动 二 结论 （ 1 ） 相等 线段： AE=BE ( 2 ) 相等弧： AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ [ 验证篇 ] ⌒ 已知：在⊙ O 中， CD 是直径， AB 是弦，CD⊥AB，垂足为 E 。 求证： AE ＝ BE ， AC ＝ BC ， AD ＝ BD 。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 叠合法 · O A B C D E 证明 ：连结 OA 、 OB ，则 OA ＝ OB 。因为垂直于弦 AB 的直径 CD 所在的直线是⊙ O 的对称轴。所以，当把圆 沿着直径 CD 折叠时， CD 两侧的两个半圆重合，即 A 点 和 B 点重合。 所以 AE 和 BE 重合， AC 、 AD 分别和 BC 、 BD 重合。因 此 AE ＝ BE ， AC ＝ BC ， AD ＝ BD ，即直径 CD 平分弦 AB ，并且平分 AB 及 ACB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ? 垂径定理 : 垂直于弦的直径，平分弦并 且平分弦所对的两条弧。 O E D C B A 垂径定理用几何语言怎样表 达 ? CD 是直径 CD ⊥弦 AB ∵ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE ＝ BE ， AD= BD ， AC=BC 总结： 当直径 CD ⊥弦 AB 时 , 则 CD 平分弦 AB ， 并且平分 AB 及 ACB ︵ ︵ 1. 判断下列图形，能否满足垂径定理？ O C D B A O C D B A O C D B A O C D E 注意：定理中的两个条件 （ 直径，垂直于弦 ） 缺一不可！ ( × ) ( × ) (√) (√) M O A C B N D 2. 如图，在圆 O 中，直径MN⊥AB，垂足 是 C ，则下列结论中错误的是（ ） A.AC=CB B. AN=BN C.AM=BM D.ON=CN ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 1 ．如图，在⊙ O 中，弦 AB 的长为 8 cm ，圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm ，（ 1 ）求⊙ O 的半径． · O A B E 解 ：作 OE AB ? 2 2 2 AO OE AE ? ? 2 2 2 2 = 3 +4 =5cm AO OE AE ? ? 答：⊙ O 的半径为 5 cm. 1 1 8 4 2 2 AE AB ? ? ? ? ? 例题讲解： 在 Rt △ ABC 中 (2) 若弦 AB 长为 8cm ， ⊙ O 半径为 5cm ， 求圆心 O 到 AB 距离 （ 3 ）若圆心 O 到 AB 距离为 3cm ， ⊙ O 半径为 5cm 求弦 AB 长 连接 OA OE AB ? 变式训练： O E B A ? 若圆心到弦的距离用 d 表示，半径用 r 表示， ? 弦长用 a 表示，这三者之间有怎样的关系？ 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? a d r 若下面的弓形高为 h 则 r 、 d 、 h 之间有怎样的关系 ? r=d+