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应用概率统计 教材: 《应用概率统计》 陈魁编著 清华大学出版社，北京，2000. 第四章 随机变量的数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特性也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而且在一些实际应用中， 人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 例如 考察一射手的水平: 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. 考察某型号电视机的质量： 平均寿命18000小时±200小时. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征, 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义. 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 ? r.v.的平均取值 —— 数学期望 章 ? r.v.取值平均偏离均值的情况 容—— 方差 4.1 随机变量的数学期望 例 甲、乙两人各射击100次，他们的射击结果如下： X：甲击中的环数, Y：乙击中的环数. X 8 9 10 次数 10 30 60 Y 8 9 10 次数 20 50 30 试问哪一个人的射击水平较高？ 甲、乙的平均环数可写为 8?10 ? 9?30 ?10?60 ? 8?0.1? 9?0.3 ?10?0.6 ? 9.5 100 8? 20 ? 9?50 ?10?30 ? 8 ?0.2 ? 9?0.5 ?10?0.3 ? 9.1 100 因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好． 用分布列表示 X 8 9 10 P 0.1 0.3 0.6 Y 8 9 10 P 0.2 0.5 0.3 EX ? 8?0.1?9?0.3 ?10?0.6 ? 9.5 EY ? 8?0.2 ?9?0.5 ?10?0.3 ? 9.1 数学期望的定义 定义1 设 X 为离散 r.v. 其分布列为 P( X ? xk ) ? pk , k ?1,2, ?? 若无穷级数 ? xk pk 绝对收敛, 则称 ?1 其和为 X 的数学期望，记作 E( X ), 即 ?? E( X ) ? ?xk pk ?1 定义2 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 f (x) 若广义积分 ?????xf ( x)dx 绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即 E( X ) ? ?????xf (x)dx P86.1 设随机变量 X 的分布律为 X -2 0 2 P 0.4 0. 3 0.3 E ( X ) EX ? ?2 ? 0.4 ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.3 ? ?0.2 例 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) . n 解 E( X ) ? ?kCnk pk (1 ? p)n?k ?0 n ? np? k ?1  (n ?1)! p k ?1 (1 ? p) ( n?1)?( k ?1) (k ?1)!(n ? k )! n?1 ? np?C k? pk (1 ? p)(n?1)?k n 1 ?0  np 特例 若X ~ B ( 1 , p ),  E(X)  ?  p X ~ P (λ), 求 E( X ) . ~ P(?) ? P( X ? k) ? k ?? e k!  , k ? 0,1,2, , ? ? 0, ? E( X ) ? ?kpk k ?0  ?? k ? ?k e?? k ?0 k!  ? ?? ? k ?1 ? ?e ? (k ?1)! k ?1 ? k ? ?e?? ? ? ? ?e?? ?e? ? ? k! k ?0 例3 设r.v X服从几何分布， P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,…， 其中0p1,求E(X) 解：记q=1-p ? ? ? E( X ) ? k ?1 ? k kpq ? p (q ) 求和与求导 k ?1 ? k ?1 q ? p( ? k ) q ) 交换次序 ? p( ? q 1 k ?1  等比级数 求和公式 1 p 例 X ~ E (λ) , 求 E( X ) . f (x) ? ?? E( X ) ? ? 0  ? ? ? 0, ? x ??e  ?x , x ? 0 x ? 0 ??x dx ??x 0 ? ?? ??x ? ?[xe | ?? ? e 0  dx] ? ? ?1 e??x |0?? ? ?1 例 X ~ N ( ? , ? 2 ), 求 E ( X ) . 解 E( X ) ? ?????x ? 1 e? ( x?? )2 2? 2 dx 2?? 令 x?? ?u u 2 ? ?? 1 ? e du ? ? （u? ? ?）?