2016高等数学1测试题目及答案(高校真题).docVIP

班 级 学 号 姓 名 密封装订线 密封装订线 密封装订线 班 级 学 号 姓 名 密封装订线 密封装订线 密封装订线 课程名称 高等数学I 考试时间 90 分钟 题号 一 二 三 四 总成绩 得分 阅卷教师签字： 一. 填空题（每小题4分，共20分） 1、设在上，则和的大小关系顺序为 . 2、设函数（其中为可导函数），则微分. 3、若，则. 4、曲线的拐点是，凹的区间是. 5、若，则. 二. 计算题（每小题7分，共28分）注意：二、三、四大题方法不唯一 1、； 2、； （3分） （3分） （7分） 原式=（7分） 3、； 4、. （前面缺负号4分） （7分） （4分） （7分） 三. 解答题（第1、2、3小题每小题8分，第4小题10分，共34分） 1、设函数由方程定，求.（8分） 解：原式两边求导得： （1）（3分） 由得（4分） 再对（1）式两边求导： （2） 将，代入（2）式得：（8分） 2、求由参数方程确定的函数的一阶导数和二阶导数.（8分） 解：（4分） 考虑对参数方程求导，得： （8分） 3、当为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.（8分） 解： 所以： 故：（4分） 因此：为极大值点，且极大值为（8分） 4、求曲线的切线，使切线与直线及直线所围成的三角形的面积最大. （10分） 解：，设为曲线上一点，则 点处的切线为：（3分） 切线与X轴交点：；切线与直线交点： 所以三角形面积：（6分） 令：，得：（舍去） 且 所以为极大值点，也是最大值点，所求切线为：（10分） 四. 证明题（第1小题8分，第2小题10分，共18分） 1、证明不等式：当时：. 证明：令 （2分） ，所以单调递增；（4分） 所以：当时，，故单调递增；（6分） 所以：当时， ，原不等式成立。（8分） 2、函数与在上二阶可导，且，. 证明：（1）在开区间内； （2）存在，使得：.（10分） 证明：（1）若存在，使得：，由Lagrange中值定理有： 存在，使得： 存在，使得：（3分） 在上再由Lagrange中值定理有：存在，使得： 与已知矛盾，所以假设不成立. （5分） （2）令（3分） 所以： 由Rolle中值定理有: 存在，使得： 因为，所以：.（5分）