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双向不等值拉压的复变函数解法及分析 摘要：弹性力学中的许多问题在数学上都归结为寻找调和函数或重调和函数的问 题。复变函数论正是研究实部和虚部都是重调和函数的解析函数,它统一了弹性力学 中的三种基本方法（位移法、应力法、应力函数法）和三类边值（力边界、位移边界、 混合边界）问题。它同时适用于直角坐标、极坐标和任意正交曲线坐标系。双向不等 值拉压是冷加工中经常见到的一种应力状态，在极坐标中不等值拉压要用叠加原理分 解成等值拉伸（或压缩）和等值拉压两个问题分别进行求解。本文通过复变函数解法 统一上述两种方法求解双向不等值（等值）拉压问题,以便于求解和应力场的分析。 关键词：复变函数、弹性力学、调和函数、等值拉压 一.双向不等值拉压的复变函数解法 如下图所示带小圆孔的无限大平板的双向不等值应力示意图，在X方向受单向拉 伸g0 ,在y方向受应力大小〃，且\q\\p\，求板内应力场。 带圆孔无限大平板双向不等值应力示意图 复变函数解法中,无限域孔口问题复势0（z）和0（乙）基本结构形式如下。 00 0⑵=A喰+处+为色广 （1 ） k=\ co 0⑵=即叮+垃？ +工仇厂 （2 ） Jl=l 求解上述复势的过程就是根据应力特征和边界条件确定0⑵和0⑵里面的系数的 过程。无限域孔口问题中系数人、￡、B。、色的确定公式如下。 A) =￡(b；+b；) = t(CT] +6) ( 3 ) K- + 2吩)= -|(7.- 6)严 (4 ) (5)R, + iR、 (5) 2兀(《+1) B\UR-iRJ2/t(k+1) B\ UR-iRJ2/t(k+1) (6) 由题知无限远处应力条件为 TOC \o 1-5 \h \z GO 00 f\ q = 6 = q f (Ty — r2 — /? i ex = Q 代入（3）、（4）式可得 A）=￡（q+P），B°=_t（q_ p） （ b ） 由孔力边界条件 o; = % = 0 z r = a - Rx = Ry = 0 ( c) 代入(5)、(6)式可得 A}=B} =0 (d) 系数c,”由下式确定 (7) 由于6=6。=0，所以系数q全部为0 ,即 Cm = 0 (m = -oo +oo) (e) 剩余系数可由下式求得 正幕 m = 0 二川现+观- C°） m = 1 恒等式 m = 2 兀G + B。）（取共觇得儿） m3 =p2cm （取共辘得九） (8) 负幕心“严（专Dm+2将（b）、（d）、（e）式代入（8）式可得其它系数为3(q - pW 负幕心“严（专D m+2 将（b）、（d）、（e）式代入（8）式可得其它系数为 3(q - pW2 (f) 其余系数全为0 再由下式确定色，hk A 务=~~k D,/?,=———,k=m-\ (当加?2) k (9) c _ (q - 卩)用 人 _ (“ + “)/ ]、 Q] — i a — 9 a —1 2 1 2 3 2 (g) 其余系数全为0 将（b）、（d）、心）式代入（1）、（2）式，并利用x = 乙=x + iy用2 =厂cos + sin〃代替z可得 =广sin 0将 0⑵二仪±￡1込+丄凶厂4 2 2 2 2 心牛一归四厂4 0⑵=（今一咖才 肖⑴=-(q〔p)+ s+pW 2-3S.-4 (h) 应力组合公式为 巾+込.=2[/(z)+ /(?)] 巾-碍+2乞0 =2严[z/⑵+叭z)] 巾 + 碍=(q + p) cos 20 将（h ）代入（10 ）整理后得 (I ) TOC \o 1-5 \h \z 勺-6 + 2% 二 Ml _ (q 一 小严 + 严 (I ) r 先由第二式虚部相等求得兔，再将两式联立求得6和巧，结果如下 9 z x 7 9 q + 卩八 cT、 (q - p) * 八 cT、八 =^(1-—) + ^—^cos 2^(1-—)(1-3—) 2 r~ 2 r~ r~ /爭（分字翻如斗） ? 2 q _ p ? rc S?e sin20(1 — )(1 +3—) 2 r 广 到此已经求得应力场，再将式（h ）代入如下位移组合公式 2G（ 2G（X + %）=严［脳⑵一 20⑵一与⑵］ (11 ) 整理后得 2Gg + %) =(z)(q + P)r + K(q K(q - pW (q _ p)F］幺-2沼 +f 2r (j) 将上式实部和虚部对应相等得 +FH 丄当 cos20 4Gr2 4G 4Gr2 4Gr K(q - pW 4Gr2 (I) 二.应力场和位移场分析 为了便于观察应力场的变化趋势,本文利用matlab绘制应力场及位移场随位置变 化的曲线图，以及当拉伸力q不变,p由正变为负的过中应力场及位移场的变化情况。 然后用abaqus模拟双向不等值（等值）拉