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不妨换个角度思考 四川省广元市宝轮中学唐明友 一些数学问题，如果采用常规解法比较繁杂，或者“此路不通”，不妨换个角 度思考，努力寻找解决问题的突破口，有吋就因为转换了思维角度，使你走向了 顺利解决问题的“康庄大道”。请同学们欣赏儿例。 运动向静止转化角度 例1.小强跟随爸爸去清江河游泳时忽发奇想，他要测水流速度，爸爸高兴地 说愿意协助。方法是这样的：他在A处放下一个空矿泉水瓶，让它向下游漂流， 小强向上游泳10分钟，立即转身原路去追赶矿泉水瓶，结果在距A处下游0.5千 米的B处追上。据此小强心算便得出了水流速度，你知道小强是怎么算的吗？ 解法1：设河水的流速为x千米/时，小强游泳的速度为y千米/时，则小强向 JL游泳的距离是巴(y-x)千米，转身向下游泳去追矿泉水瓶所走的路程是 60 (―-—)(x + y)千米。由题意列出方程： x 60 —— (y—x) +0. 5二(—————)(x + y) 60 x 60 去分母得 x(y—x) +3x=(3 —x) (x + y) 整理得 2xy=3y ???yH0, ??.x二1.5,即河水的流速是1.5千米/时。 解法2：假定小强在游泳池里游泳，水不会流动，向上游泳10分钟再转身回 追矿泉水瓶，矿泉水瓶应在原处，这样小强来冋共游了 2X^=1小吋。由于矿泉 60 3 水瓶在顺水漂流，它向下漂流的0.5千米是在这丄小时内完成的。仍设河水的流速 3 为x千米/时，则 *x二0. 5, /.x=l. 5(千米/吋) 点评：由于小强很快得到了答案，显然不是按解法1,而是转换了思维角度， 按解法2将运动的河水看成静止的，即物理学上将河流作为参照物，相当于河水 不流动只是人在运动，这样，可使问题一下子简明起来，这是小强活学活用数理 知识的典型例子。 局部向整体转化角度 例2.己知有三个数，其中任意两个数相加所得的和分别是39、44、47,求这 三个数。 解法1：设这三个数分别是x、y、z,则 x + y = 39 x = 21 v y + z = 44 ,解得 y = 18 , z = 26 因此，这三个数分别是21、18、26. 解法2：设这三个数的和是a,根据题意得： 2x39+44+47, 解这个方程得：沪65, 所以这三个数分别是：65-39=26, ,65-44=21,65-47=18. 点评：解法1是直接设元列出三元一次方程组解，解法2运用整体思想列出 一元一次方程解，显然要简单得多。因此，有些数学问题，如果盲目进入局部探 索，问题会复杂化，此时若能换一个角度，从整体丄把握方向，常会找到问题的 简明解法。 三?常规向模型转化角度 例3.解方程组:[2000x-l7y = 20002——(1) ：2011 兀一 17y = 201 F—— 例3.解方程组: 解法 1： (2) 一⑴得：Ux=20112~20002 解之得：x=4011 把 x二4011 代入(1)得:2000X4011 —17y二2000 2 y=2000x4011-200()217 y= 2000x4011-200()217 4022000 17 兀=4011 所以，原方程租的解为:4022000 所以，原方程租的解为: 402200017 解法2：原方程可化为：严°「—2000X+17—0 [201F - 201h + 17y = 0 可得2000、2011是一元二次方程n? —mx+17y=0的两个根， 由根与系数的关系有：x=2000 +2011=4011, 17v=2000X2011,即 v= 4022000 17 点评：前一种解法运算量大且繁杂。观察方程的特点，两个方程的形式相同, 类比“模型” 一元二次方程m2—mx + 17y=0,再运用根与系数的关系轻松获得解 决。观察、联想、类比，将问题转化为数学模型，是解决这类问题的常用思路。 四?“数”向“形”转化角度 例4.若代数式|x + 2| + |x-3|取最小值，求相应的x的取值范围。 解法1：分三种情况讨论： （1） 当 xW — 2 吋，原式二一x — 2 — x + 3二一2x +1, ???xW — 2, ???一2x + l$5。此时，当x二一2时，原式取得最小值5? （2） 当一2x3时,原式二x + 2—x + 3二5。此时,原式的值恒为5. ⑶当 xM3 时,原式=x+2+x-3=2x-l ???x$3, ???2x—1M5。此时,当x=3时，原式取得最小值5. 综合（1）、（2）、⑶可得:代数式卜+ 2|+卜-3|取最小值时，相应的x的取值 范I韦I是：一2WxW3. 解法2：如图1,卜+ 2|的儿何意义是数轴上表示数x的点（设为X）到表示 一2的点（设为A）的距离AX,同样卜-3|表示距离BX。 显然，只有当点X在线段A