曲线积分及其与路径无关问题.docxVIP

PAGE PAGE # 曲线积分与路径无关问题 第一型曲线积分 对弧长的曲线积分的模型： 设给定一条平面曲线弧L : AB,其线密度为 「(x,y)求弧AB的质量m。 m = L f (x, y)ds , ⑵若L^ AB, L^ BA，贝U l f(x,y)ds= l f(x, y)ds，即对弧长的曲线积分 ■Li L2 与积分弧段有关，但与积分弧段的方向无关。 (3)对弧长的曲线积分的计算 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为」x(t), 片屮(t) (：rt冬-),其中(t)、(t)在J」上具有一阶连续导数，且 」2(t)宀2(t) = 0, 则曲线积分［f (x, y)ds存在，且 l f (x, y)ds=「f “t)「⑴丨 T2(t)r‘2(t)dt (: J) 特别，当f(x,y)=1时,〔f(x,y)ds表示曲线弧L的弧长。 当曲线弧L的方程为y=g(x) (a乞x乞b), g(x)在a,b】上有连续的导数，则 f f (x,y)ds= a f Rg(x)】Jl + g2(x)dx ； l a r x = x 把线弧L的方程为y=f(x)化作参数方程丿 ,(a兰x^b), ^ = g(x) L f (x, y)ds= f f 片(y),yhjl +h2(y)dy (c 疋 y Md) 第二型曲线积分 第二型曲线积分的模型：设有一平面力场F(x, y)二P(x, y)i Q(x,y)j , 其中P(x, y),Q(x, y)为连续函数，一质点在此力场的力作用下，由点 A沿光滑曲线 L运动到点B，求力场的力所作的功 W W = [ P(x, y)dx +Q(x, y)dy , 设L为有向曲线弧，-L为与L方向相反的有向曲线弧，则 l P(x, y)dx Q(x, y)d^ -丄 P(x, y)dx Q(x, y)dy 即第二型曲线积分方向无关 x=d(t) 一 设xoy平面上的有向曲线L的参数方程为丿 丿，当参数t单调地由ot (t) 变到1时，曲线的点由起点A运动到终点B, (t)、(t)在以〉及 为端点的闭区 间上具有一阶连续导数，且：:2(t)」「2(t) = 0，函数P(x, y)、Q(x,y)在L上连续, 则曲线积分l P(x, y)dx Q(x, y)dy存在，且 P(x,y)dx Q(x, y)dy= 中；:(t)「(t) ：(t) Q ：:(t),‘- (t)】 这里的〉是曲线L的起点A所对应的参数值，1是曲线L的终点B所对应的参数 值，并不要求〉：：：1 o 若曲线L的方程为y二f (x), x = a对应于L的起点，x二b应于L的终点，则 l P(x, y)dx Q(x, y)dy = ^ P -x, f (x)〕Q f (x) If (x) dx ; 若曲线L的方程为x =g(y), y =c对应于L的起点，y =d应于L的终点， 则 (p(x, y)dx +q(x, y)dy = f Sb(y),y右(y) +Q^(y),y山y。 同样，以上并不要求a ::: b， c ：：： d o 公式可推广到空间曲线C上对坐标的曲线积分的情形， 若空间曲线L的参数方程为x二(t), y八(t), z二(t)，则 C P(x,y,z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y,z)dz =.「P；(t)「(t),，(t)；：(t) Q；(t)「(t), (t)： (t) R (t)? (t); (t/ (t)dlt 这里 下限〉为曲线C的起点所对应的参数值，上限1为曲线C的终点所对应的参数 例1计算 l xydx ydy , 其中 (1)L为抛物线y2 =x上从点到点B(1,1)的一段弧。 ⑵L为从A到点B的直线段. 解法1 (1)由 y2 =x知y不是x的单值函数，因此不能运用公式(2),但可运 用公式(3)，这里x = y2，y从-1变到1,于是 l xydx ydy =二『 .y (y2) y dy = 4 ° y4dy = 4。 解法2当把曲线L分成AO与OB两部分时，在每一部分上y都是x的单值 函数。在AO上y= -,?x，x由1变到0 ;在OB 上, x，x由0变到1。于是 L xydx ydy = OA xydx ydy + OB xydx ydy =1 x( _X)x)(_ .. X)dx+ 0 x、.. X 一 x(.. X)dx TOC \o 1-5 \h \z 3 3 0 1 1 刁 1 4 二八-x2 )dx 0(x2 )dx = 2 2 5 ⑵ 直线AB的方程为x =1,dx =0,y从-1到1,于是 1 Lxydx ydy =.」ydy = 0 从这个例子可以看出，对坐标的曲线积分沿不同的路径，曲线积分不一定相等? 格林公式及其应用 格林公式：设