Matlab插值 教学PPT课件.ppt

第6章 插值 6.1 Lagrange插值 6.2 Newton插值 6.3 Hermite插值 6.4 分段低次插值 6.5 三次样条插值 6.6 二维插值 6.7 实例解析 求 n 次多项式 使得 分别构造x0 , x1, …, xn 上的 n 次插值基函数 l0(x), l1(x), …, ln(x),满足性质： 即 节点 基函数 x0 x1 x2 … xn l0(x) 1 0 0 … 0 l1(x) 0 1 0 … 0 l2(x) 0 0 1 … 0 … … … … … … ln(x) 0 0 0 … 1 6.1 Lagrange插值 先构造 l0(x)。有上表知， x1 , x2, …, xn 为 l0(x) 的零点，设 由l0(x0)=1，得 同理可设 由li (xi)=1，得 于是， 所以我们得到 n 次Lagrange插值多项式： 容易验证， Ln(xi) = f (xi), i = 0, 1, 2,…, n. 6.2 Newton插值 Lagrange插值的优缺点： 优点：形式整齐、规范，理论上保证插值的存在唯一性。 缺点：计算量大、不具有承袭性。 一、差商及其性质 一阶差商：f (x)关于点x0，x1的一阶差商记为 f [x0, x1]， 二阶差商： f (x)关于点x0，x1， x2的二阶差商记为 f [x0, x1, x2], 一般地，k 阶差商 f [x0, x1,…, xn] 定义为： 差商的性质 性质1 k 阶差商 f [x0, x1,…, xk]可表成节点上函数值 f(x0), f(x1), …, f(xk) 的线性组合，即 例如，k = 2时， (6.3) 性质 2 各阶差商具有对称性, 即改变差商中节点的次序不会  改变差商的值。设i0, i1, …, ik为0, 1, …, k的任一排列, 则 由性质1知，任意改变节点的次序，只改变(5.17)式右端求 和的次序，故其值不变。例如,由定义知， 性质 3 若 f (x)为 n 次多项式，则一阶差商 f [x, xi]为n ?1次 多项式。 由定义 令x = xi, 则分子为0, 说明分子中含有因子x ? xi, 与分母约去。 性质 4 若 f (x)在 [a, b] 存在 n +1阶导数，xi∈ [a, b] , i = 0,1,…,n, 固定 x∈[a, b], 则 n+1 阶差商与导数 存在如下关系： 二、差商的计算 ★ 由差商的定义 一阶差商是由节点上函数值定义的，二阶差商是由一阶差商定义的，…，依此构造差商表： i xi f (xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 … n 阶差商 0 x0 f (x0) 1 x1 f (x1) f [x0, x1] 2 x2 f (x2) f [x1, x2] f [x0, x1, x2] 3 x3 f (x3) f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3] … … … … … … n xn f (xn) f [xn ?1, xn] f [xn ?2, xn ?1, xn] f [xn ?3,…, xn] … f [x0, x1, …, xn] 三、 n 次Newton插值公式 给定n+1个插值点(xi, f(xi)), i = 0, 1, 2,…, n, xi互异， 类似地，有二阶至 n 阶差商的定义得 (x?x0)× (x?x0)(x?x1) × …… (x?x0)…(x?xn?1) 上述所有n +1个等式相加，得 其中， 插值误差为： n次Newton 插值公式 有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等， 下面只讨论函数