不规则几何体体积的求法..docVIP

不规则几何体体积的求法 当所给几何体形状不规则时， 无法直接利用体积公式求解， 可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考． 一、等积转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量 （底面积或高 ）不易求出时， 可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解， 该方法尤其适用于求三棱锥的体 积． 例 1 在边长为 a 的正方体 ABCD — A1B1C1D 1 中， M， N， P 分别是棱 A1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 A1N=2 ND1， A1P= 4 A1A（如图 1），试求三棱锥 A1— MNP 的 体积． 分析： 若用公式 V= 1 A1—MNP 的体积， 3 Sh 直接计算三棱锥 则需要求出△ MNP 的面积和该三棱锥的高， 这两者显然都不易求出， 但若将三棱锥 A — MNP 的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥 P— A MN 的体积，便能很 1 1 容易的求出其高和底面△ A1MN 的面积，从而代入公式求解． 解： VA1-MNP =VA1—MNP = 1 ·S△A1 MN ·h = 1 1 M1·A1N·A 1P= 1 1 1 2 3 1 3 3 × ·A1 3 × × a· a· a= 24 2 2 2 3 4 a3． 评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法， 也是以后学习求点到平面距离 的一个理论依据． 二、分割法 分割法也是体积计算中的一种常用方法， 在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几 何体的体积之比时经常要用到分割法． 例 2 如图 2，在三棱柱 ABC— A1B1C1 中， E, F 分别为 AB, AC 的中点，平面 EB1C1F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 分析： 截面 EB1C1F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台 1 1 1 AEF — A B C ；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱 的体积减去棱台的体积求得． 解： 设棱柱的底面积为 S，高为 h，其体积 V=Sh． 1 则三角形 AEF 的面积为 4 S． 1 1s s 7 由于 VAEF- A1B 1C1= 3 ·h·(4 +S+2 )= 12 Sh, 7 5 则剩余不规则几何体的体积为 V ′??=V- VAEF-A 1B1C1=Sh - 12 Sh = 12 Sh， 所以两部分的体积之比为 V ：V?? AEF -A1B1C1 ′=7： 5. 评注： 在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可 用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算． 三、补形法 某些空间几何体是某一个几何体的一部分， 在解题时， 把这个几何体通过“补形”补成 完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中， 巧妙地破解空间几何体的体积问题， 这是一种 重要的解题策略 —— 补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形 . 对于还原补 形，主要涉及台体中“还台为锥”问题． 例 3 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ______. 分析： 由三视图画出直观图，补一个大小相同的几何体，构成一个圆柱即可求其体积 . 解：由三视图可知，此几何体是底面半径为 1，高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了 1 3 2 圆柱的 ，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积 V ＝ ×π×14＝ 3π. 4 4 评注： “对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称 关系对空间想象能力的提高很有帮助． 2