高考二轮复习函数性质总结奇偶性、周期性、对称性.pdfVIP

　函数的奇偶性、周期性、对称性 【知识梳理】 一、函数的奇偶性 x 1．函数奇偶性的定义：函数f (x) 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个 都满足 ①f (x)  f (x)  函数f (x) 为偶函数； ②f (x)  f (x)  f (x) f (x)  0  函数f (x) 为奇函数. y 2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称， 则该函数为奇函数，若该函数的图像关于y 轴对称，该函数为偶函数. 3．函数奇偶性的性质 ①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x)  0 ，x D ，其中定义域D 是关于原点对称 的非空数集. ②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数f (x) 在区间 [a,b](0  a b) 上单调递增（减），则f (x) 在区间[b, a] 上也是单调递增（减）； ③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数f (x) 在区间 [a,b](0  a b) 上单调递增（减），则f (x) 在区间[b, a] 上也是单调递减（增）； 注意：1）若函数f (x), g (x) 都为奇函数或都为偶函数，则函数F (x)  f (x)g (x) 为偶函数； 2）若函数f (x), g (x) 其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则函数F (x)  f (x)g (x) 为奇函数； 3）若函数f (x), g (x) 都为奇函数，则函数F (x)  f (x) g (x) 为奇函数； 4）若函数f (x), g (x) 都为偶函数，则函数F (x)  f (x) g (x) 为偶函数. 二、函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对 称 2 、轴对称的等价描述： （1）f a  x  f a  x  f x 关于x  a 轴对称（当a  0 时，就是偶函数）       a  b （2 ）f a  x  f b  x  f x 关于x  轴对称       2 （3 ）f x  a 是偶函数，则f x  a  f x  a ，可得到：f x 关于x  a 轴对称。         2 、中心对称的等价描述： （1）f a  x  f a  x  f x 关于 a,0 中心对称         1 a  b  （2 ）f a  x  f b  x  f x 关于 ,0 中心对称          2  （3 ）f x  a 是奇函数，则f x  a  f x  a ，即f x 关于 a,0 中心对称。           三、函数的周期性 1、定义：设f x 的定义域为D ，若对x D ，存在一个非零常数T ，