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初二数学（下） 知识改变命运创造未来 二次根式定义及性质 教学内容： 1. 学习目标： 理解二次根式的概念, 了解被开方数是非负数的理由； 理解并掌握下列结论： , , ,并利用它们进行计算和化简． 2. 重点： ； , 及其运用． 3.难点： 利用 , , 解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念 一般地,我们把形如 (a≥ 0)? 的式子叫做二次根式, “ ”称为二次根号． 知识点二：二次根式的性质 1. ； 2. ； 3. ； 4.积的算术平方根的性质： ； 5. 商的算术平方根的性质： . 知识点三：代数式 形如 5,a, a+b, ab, ,x 3,这些式子,用基本的运算符号 (基本运算包括加、减、乘、 除、乘方、开方 )把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式 (algebraic expression). 成功在励志 成才要得法 1 初二数学（下） 知识改变命运创造未来 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 例 1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式： 、 、 、 (x＞0)、 、 、 、 、 (x≥ 0,y≥ 0)． 思路点拨： 二次根式应满足两个条件：第一,有二次根号“ ”；第二,被开方数是正数或 0． 解 ：二次根式有： 、 (x＞0)、 、 、 (x≥ 0,y≥ 0)； 不是二次根式的有： 、 、 、 ． 例 2、当 x 是多少时, 在实数范围内有意义？ 思路点拨： 由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于 0,所以 3x-1≥ 0,? 才能有意 义． 解： 由 3x-1≥ 0,得： x≥ 当 x≥时, 在实数范围内有意义． 总结升华： 要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数． 举一反三 【变式 1】x 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； 解： (1)由 ≥ 0,解得： x 取任意实数 ∴ 当 x 取任意实数时,二次根式 在实数范围内都有意义. (2)由 x-1≥ 0,且 x-1≠0,解得： x＞1 ∴ 当 x＞1时,二次根式 在实数范围内都有意义. 成功在励志 成才要得法 2 初二数学（下） 知识改变命运创造未来 【变式 2】当 x 是多少时, + 在实数范围内有意义？ 思路点拨： 要使 + 在实数范围内有意义, 必须同时满足 中的 2x+3≥ 0 和 中的 x+1≠0． 解： 依题意,得 由①得： x≥ - 由②得： x≠-1 当 x≥ - 且 x≠ -1时, + 在实数范围内有意义． 类型二：二次根式的性质 例 1、计算： (1) (2) (3) (4) (5) (b≥ 0) (6) 思路点拨： 我们可以直接利用 (a≥ 0)的结论解题． 解： (1) (2) = ； (3) ； (4) = ； (5) ； (6) ． 举一反三 【变式 1】计算： (1) ； (2) ； 成功在励志 成才要得法 3 初二数学（下） 知识改变命运创造未来 (3) ； (4) . 思路点拨： (1) 因为x≥ 0,所以 x+1＞0； (2)a 2≥ 0； 2+2a+1=(a+1)2≥ 0； (4)4x 2-12x+9=(2x) 2-2· 2x· 3+32=(2x-3) 2≥ 0． (3)a 所以上面的 4题都可以运用 的重要结论解题． 解： (1)因为x≥ 0,所以 x+1＞0 ； (2)∵a 2≥ 0,∴ ； 2+2a+1=(a+1) 2 (3)∵a 又∵ (a+1) 2≥ 0,∴ a2+2a+1≥ 0,∴ =a2+2a+1； (4)∵4x 2 -12x+9=(2x) 2 2 -2· 2x· 3+3 =(2x-3) 2 又∵ (2x-3) 2≥ 0 2-12x+9 ≥ 0,∴ =4x2-12x+9. ∴4x 例 2、化简: (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 思路点拨： 因为(1)9=3 2,(2)(-4) 2=42, (3)25=52,(4)(-3)2=32,所以都可运用 去化简． 解： (1) = =3； (2) = =4； (3) = =5； (4) = =3. 例 3、填空：当 a≥ 0时, =____；当 a＜0时, =______,? 并根据这一性质回答下列问题． (1)若 =a,则a 可以是什么数？ (2)若 =-a,则a 可以是什么数？ (3) ＞a,则a 可以是什么数？ 思路点拨： ∵ =a(a≥ 0), 成功在励志 成才要得法 4 初二数学（下） 知识改变命运创造未来 ∴要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“ ( ) 2”中的数是正数, 因为,当 a≤ 0时, = ,那么 -a≥ 0． (1)根据结论求条件； (2)根据第二个填空的分析,逆向思想； (3)根据 (1)、(2)可知