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补充线性规划问题 习题及解答 1．某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为 100cm，现在要在宽度上进行切割以完成下列订货任务： 24cm 宽的 75 卷， 40cm 宽的 50 卷和 32cm 宽的 110 卷，长度是一样的， 试将这个要解决的切割 方案问题列成线性规划模型，使切余的边料最少。 答：有下面八种切法 出 品 方 数 需要 （ 案 一 二 三 四 五 六 七 八 数量 卷 ） 规 （卷） 格 24cm 4 0 0 1 1 2 2 0 75 40cm 0 2 0 1 0 1 0 1 50 32cm 0 0 3 1 2 0 1 1 110 余料 4 20 4 4 12 12 20 28 设 x1 ，x2，x3，x4，x5，x6 ，x7，x8 分别表示八种下料方案切割的铜卷数，求解 x1，x2，x3，x4， x5， x6， x7， x8 使满足条件： 4x1 x4 x5 2x6 2x7 75 2x2 x4 x6 x8 50 3x3 x4 2x5 x7 x8 110 x1，x2，x3，x4，x5，x6 , x7 , x8 0取整数 并使余料总数： Z= 4x1+20x2+4x3+4x4+12x5+12x6 +20x7 +28x8 取得最小值。 近似最优解 x1=25/4,x3=20,x4=50 其他为 0，最优值 z*=305。（不 是整数解） 2．某养鸡场养鸡 10000 只，用大豆和谷物饲料混合喂养，每天 每只平均吃混合饲料，其中应至少含有蛋白质和钙。已知大豆 中含 50%蛋白质和 %的钙，价格是元 /kg ，谷物中含有 10%的蛋 白质和 %的钙，价格是元 /kg ，粮食部门 每周只保证供应谷物饲 料 25000kg，大豆供应量不限，问应如何搭配两种饲料，才能使 喂养成本最低，建立该问题的数学模型。 解：设每周用大豆 x1 公斤，谷物 x2 公斤 ,数学模型为 50%x1 +10%x2 ≥× 7× 10000=7000 蛋白 %x1+%x2≥× 7× 10000=140 x1 +x2 ≤× 7× 10000=35000 量 x2 ≤ 25000 谷物限量 x1 ≥ 0,x20≥ min z=x1+ 解最 解 x1= , x2=,最小 z*=。 3．一家昼夜服 的 店， 24 小 内需要服 的人数如下 每个服 每天 工作 8 小 ，且在表中 段开始上班， 求要求 足以上要求的最少上班人数，建立 的数学模型。 解： 在 j 点上班的人数 xj(j=1,2, 6)?,，上班之后 工作 8 小 ， 下班离开， 每班中 不允 交接班离开 。故有 4 人 8 人 10 人 7 人 12 人 4 人 2~6 时 6~10 时 10~14 时 14~18 时 18~22 时 22~2 时 x1 x2 x3 x4 x5 x6 据 意有 2~6 时 x1 +x6 ≥4 6~10 时 x1+x2+ ≥8 10~14 时 x2+x3 ≥10 14~18 时 x3+x4 ≥7 18~22 时 x4+x5 ≥12 22~2 时 x5+x6 ≥4 min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 最优解 x1=4 , x2=10 , x4=8 , x5=4 , 其他 xj=0, 最优值 min z=26（人） 4．设有四个投资机会： 甲：在三年内，投资人应在每年年初投资，每年每元可获利息元， 每年取息后可重新将本息投入生息。 乙：在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元可获得利 息元，两年后取息，可重新将本息投入生息。 丙：在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元可获得利 息元，这种投资最多不得超过 15000 元。 丁：投资人应在第三年年初投资，一年内每元投资可获利息元，这 种投资不得超过 10000 元。 假定在这三年为期的投资中，开始时有 30000 元可供投资，投资人 应怎样决定投资， 才能在第三年底获得最高的收益， 试建立其数学模型。 解：设 xij 为第 i 年初投放到 j 项目的资金数，其数学模型为： max z=++ x11+x12 ≤ 30000 x21+x23 ≤ x31+x34 ≤+ 最优解 x11=12500, x12=17500, x23=15000, x31=16250, x34=10000, 其他为 0；最优值 z*=57500 5．某一求目标函数最大值的线性规划问题，用单纯形法求解时得到的 某一步的单纯形表如下： 问 a1 ，a2， a3， c， d 各为何值及变量 xj 属于那一类性质的变量时：（ 1）现有解为唯一最优解。 （ 2）现有解为最优，但最优解有无穷多个。（ 3）存在可行解，但目标函数无界。 （ 4）此问题无可行解。答： ＜0, d≥ 0, x3, x