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实用标准 解三角形题型总结 ABC 中的常见结论和定理： 一、内角和定理及 公式： 1．因 A B C， 所以 sin( A B) sin C , cos( A B) cosC , tan(A B) tan C ； sin( A C ) sin B, cos( A C ) cos B, tan( A C ) tan B ； sin( B C ) sin A, cos(B C ) cos A, tan(B C ) tan A 因 A B C , 2 2 所以 sin A B cos C ， cos A B sin C ，???? 2 2 2 2 ．大 大角 3.在△ABC 中，熟 并会 明 tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC; (2)A 、 B、C 成等差数列的充要条件是 B=60 °； (3) △ABC 是正三角形的充要条件是 A 、 B、 C 成等差数列且 a、 b 、 c 成等比数列 . 二、 正弦定理 ： 文字：在 ABC 中，各 与其所 角的正弦的比 都相等。 a b c R 符号： sin B 2 sin A sin C 公式 形：① a 2R sin A b 2R sin B c 2R sin C ( 化成角） a b sin C c ② sin A sin B （角 化成 ） 2R 2R 2R a : b : c sin A : sin B : sin C ④ 三、余弦定理：  a b c a b c 2R sin A sin B sin C sin A sin B sin C 文字：在 ABC 中，任意一 的平方，等于另外两 的平方和，减去 两 与它 角的 文档 实用标准 余弦值的乘积的两倍。 符号： a 2 b2 c 2 2bc cos Ab2 a2 c 2 2ac cos Bc2 a2 b2 2ab cosC b2 c2 a2 a 2 c2 b2 a2 b2 c2 变形： cos A 2bc cos B 2ac cosC 2ab 四、面积公式 ： （1） S 1 aha （2） S 1 r (a b c) （其中 r 为三角形内切圆半径） 2 2 （3） S 1 ab sin C 1 bc sin A 1 ac sin B 2 2 2 五、 常见三角形的基本类型及解法： （ 1 ）已知两角和一边（如已知 A, B, 边 c ） 解法：根据内角和求出角 C (A B)； a b c 根据正弦定理 sin B 2R 求出其余两边 a, b sin A sin C （ 2 ）已知两边和夹角（如已知 a,b,C ） 解法：根据余弦定理 c2 a2 b2 2ab cosC 求出边 c ； 根据余弦定理的变形 cos A b 2 c2 a2 2bc 求 A ； 根据内角和定理求角 B ( A C ) . （ 3 ）已知三边（如： a, b, c ） 解法：根据余弦定理的变形 根据余弦定理的变形  cos A b 2 c2 a2 求 A ； 2bc cos B a2 c2 b2 求角 B； 2ac 根据内角和定理求角 C (A B) （ 4 ）已知两边和其中一边对角（如： a, b, A ）（注意讨论解的情况） 文档 实用标准 解法 1 ：若只求第三边，用余弦定理： c2 a2 b2 2ab cosC ； 解法 2 ：若不是只求第三边，先用正弦定理 a b c sin A sin B 2R 求 B （可能出现一 sin C 解，两解或无解的情况，见题型一） ； 再根据内角和定理求角 C (A B)；. 先看一道例题： 例： 在 ABC 中，已知 b 6, c 2 3, B 300 ，求角 C。（答案： C 450 或 1350 ） 六、 在 ABC 中，已知 a, b, A ，则 ABC 解的情况为： 法一：几何法（不建议使用） （注：表中， A 为锐角时，若 a b sin A ，无解； A 为钝角或直角时，若 a b ，无解 . 文档 实用标准 法二：代数法（建议使用） 通过例子说明步骤：大角对大边 结合 正弦定理 一起使用（见题型一） A 为锐角 A 为钝角或直角 图 形 关系式 a b sin A b sin A a b a b a b 解的 一解 两解 一解 一解 个数 题型总结： 题型一、利用正弦定理解决“两边一对角”的类型 模型：在 ABC 中，已知边 a, b和角 A ,若不是求第三边 c，用正弦定理。 例 1 ：在 ABC 中，已知 a 2, c 2,A 450 ，求∠ C。（答案： C 300 ） 例 2 ：在 ABC 中，已知 b 6,c 2 3,B 300 ，求∠C。（答案： C